Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln (4 x - 1) - 3 \ln (x)$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\ln (4 x - 1) - 3 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\ln (4 x - 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\ln (4 x - 1)] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (4 x - 1)]$ .

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = 4 x - 1$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x - 1$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [4 x - 1] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [4 x - 1] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x - 1$ .

$\frac{1}{4 x - 1} \frac{d}{d x} [4 x - 1] + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Étape 2.2

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{1}{4 x - 1} (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Étape 2.3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{4 x - 1} (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{4 x - 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Étape 2.5

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{1}{4 x - 1} (4 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Étape 2.6

Multipliez $4$ par $1$ .

$\frac{1}{4 x - 1} (4 + 0) + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Étape 2.7

Additionnez $4$ et $0$ .

$\frac{1}{4 x - 1} \cdot 4 + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Étape 2.8

Associez $\frac{1}{4 x - 1}$ et $4$ .

$\frac{4}{4 x - 1} + \frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 3 \ln (x)]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$\frac{4}{4 x - 1} - 3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$

Étape 3.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{4 x - 1} - 3 \frac{1}{x}$

Étape 3.3

Associez $- 3$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{4}{4 x - 1} + \frac{- 3}{x}$

Étape 3.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{4}{4 x - 1} - \frac{3}{x}$

Étape 4

Associez des termes.

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Étape 4.1

Pour écrire $\frac{4}{4 x - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4}{4 x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3}{x}$

Étape 4.2

Pour écrire $- \frac{3}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{4 x - 1}{4 x - 1}$ .

$\frac{4}{4 x - 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{3}{x} \cdot \frac{4 x - 1}{4 x - 1}$

Étape 4.3

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(4 x - 1) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 4.3.1

Multipliez $\frac{4}{4 x - 1}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{4 x}{(4 x - 1) x} - \frac{3}{x} \cdot \frac{4 x - 1}{4 x - 1}$

Étape 4.3.2

Multipliez $\frac{3}{x}$ par $\frac{4 x - 1}{4 x - 1}$ .

$\frac{4 x}{(4 x - 1) x} - \frac{3 (4 x - 1)}{x (4 x - 1)}$

Étape 4.3.3

Réorganisez les facteurs de $(4 x - 1) x$ .

$\frac{4 x}{x (4 x - 1)} - \frac{3 (4 x - 1)}{x (4 x - 1)}$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{4 x - 3 (4 x - 1)}{x (4 x - 1)}$