Calcul infinitésimal Exemples

$lim_{a \to 0} \frac{\ln (1 + a)}{a}$

Étape 1

Appliquez la Règle de l’Hôpital.

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Étape 1.1

Évaluez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

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Étape 1.1.1

Prenez la limite du numérateur et la limite du dénominateur.

$\frac{lim_{a \to 0} \ln (1 + a)}{lim_{a \to 0} a}$

Étape 1.1.2

Évaluez la limite du numérateur.

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Étape 1.1.2.1

Évaluez la limite.

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Étape 1.1.2.1.1

Placez la limite à l’intérieur du logarithme.

$\frac{\ln (lim_{a \to 0} 1 + a)}{lim_{a \to 0} a}$

Étape 1.1.2.1.2

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $a$ approche de $0$ .

$\frac{\ln (lim_{a \to 0} 1 + lim_{a \to 0} a)}{lim_{a \to 0} a}$

Étape 1.1.2.1.3

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $a$ approche de $0$ .

$\frac{\ln (1 + lim_{a \to 0} a)}{lim_{a \to 0} a}$

Étape 1.1.2.2

Évaluez la limite de $a$ en insérant $0$ pour $a$ .

$\frac{\ln (1 + 0)}{lim_{a \to 0} a}$

Étape 1.1.2.3

Simplifiez la réponse.

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Étape 1.1.2.3.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{\ln (1)}{lim_{a \to 0} a}$

Étape 1.1.2.3.2

Le logarithme naturel de $1$ est $0$ .

$\frac{0}{lim_{a \to 0} a}$

Étape 1.1.3

Évaluez la limite de $a$ en insérant $0$ pour $a$ .

$\frac{0}{0}$

Étape 1.1.4

L’expression contient une division par $0$ . L’expression est indéfinie.

Indéfini

$\frac{0}{0}$

Étape 1.2

Comme $\frac{0}{0}$ est de forme indéterminée, appliquez la règle de l’Hôpital. La règle de l’Hôpital indique que la limite d’un quotient de fonctions est égale à la limite du quotient de leurs dérivées.

$lim_{a \to 0} \frac{\ln (1 + a)}{a} = lim_{a \to 0} \frac{\frac{d}{d a} [\ln (1 + a)]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Étape 1.3

Déterminez la dérivée du numérateur et du dénominateur.

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Étape 1.3.1

Différenciez le numérateur et le dénominateur.

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{d}{d a} [\ln (1 + a)]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Étape 1.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d a} [f (g (a))]$ est $f' (g (a)) g' (a)$ où $f (a) = \ln (a)$ et $g (a) = 1 + a$ .

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Étape 1.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $1 + a$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d a} [1 + a]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Étape 1.3.2.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{u} \frac{d}{d a} [1 + a]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Étape 1.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $1 + a$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} \frac{d}{d a} [1 + a]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Étape 1.3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + a$ par rapport à $a$ est $\frac{d}{d a} [1] + \frac{d}{d a} [a]$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} (\frac{d}{d a} [1] + \frac{d}{d a} [a])}{\frac{d}{d a} [a]}$

Étape 1.3.4

Comme $1$ est constant par rapport à $a$ , la dérivée de $1$ par rapport à $a$ est $0$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} (0 + \frac{d}{d a} [a])}{\frac{d}{d a} [a]}$

Étape 1.3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d a} [a]$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} \frac{d}{d a} [a]}{\frac{d}{d a} [a]}$

Étape 1.3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a} \cdot 1}{\frac{d}{d a} [a]}$

Étape 1.3.7

Multipliez $\frac{1}{1 + a}$ par $1$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{1 + a}}{\frac{d}{d a} [a]}$

Étape 1.3.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{a + 1}}{\frac{d}{d a} [a]}$

Étape 1.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d a} [a^{n}]$ est $n a^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$lim_{a \to 0} \frac{\frac{1}{a + 1}}{1}$

Étape 1.4

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$lim_{a \to 0} \frac{1}{a + 1} \cdot 1$

Étape 1.5

Multipliez $\frac{1}{a + 1}$ par $1$ .

$lim_{a \to 0} \frac{1}{a + 1}$

Étape 2

Évaluez la limite.

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Étape 2.1

Divisez la limite en utilisant la règle du quotient des limites sur la limite lorsque $a$ approche de $0$ .

$\frac{lim_{a \to 0} 1}{lim_{a \to 0} a + 1}$

Étape 2.2

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $a$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{a \to 0} a + 1}$

Étape 2.3

Divisez la limite en utilisant la règle de la somme des limites sur la limite lorsque $a$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{a \to 0} a + lim_{a \to 0} 1}$

Étape 2.4

Évaluez la limite de $1$ qui est constante lorsque $a$ approche de $0$ .

$\frac{1}{lim_{a \to 0} a + 1}$

Étape 3

Évaluez la limite de $a$ en insérant $0$ pour $a$ .

$\frac{1}{0 + 1}$

Étape 4

Simplifiez la réponse.

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Étape 4.1

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1}{1}$

Étape 4.2

Divisez $1$ par $1$ .

$1$