Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt[4]{\frac{2 x}{4 x - 3}}$

Étape 1

Réécrivez $\sqrt[4]{\frac{2 x}{4 x - 3}}$ comme $\frac{\sqrt[4]{2 x}}{\sqrt[4]{4 x - 3}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x}}{\sqrt[4]{4 x - 3}}]$

Étape 2

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{2 x}}{\sqrt[4]{4 x - 3}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{{\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x}}{\sqrt[4]{4 x - 3}} \cdot \frac{{\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{{\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}]$

Étape 3

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.1

Multipliez $\frac{\sqrt[4]{2 x}}{\sqrt[4]{4 x - 3}}$ par $\frac{{\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{{\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{\sqrt[4]{4 x - 3} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}]$

Étape 3.2

Élevez $\sqrt[4]{4 x - 3}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{{\sqrt[4]{4 x - 3}}^{1} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}]$

Étape 3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{{\sqrt[4]{4 x - 3}}^{1 + 3}}]$

Étape 3.4

Additionnez $1$ et $3$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{{\sqrt[4]{4 x - 3}}^{4}}]$

Étape 3.5

Réécrivez ${\sqrt[4]{4 x - 3}}^{4}$ comme $4 x - 3$ .

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Étape 3.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[4]{4 x - 3}$ comme ${(4 x - 3)}^{\frac{1}{4}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{{({(4 x - 3)}^{\frac{1}{4}})}^{4}}]$

Étape 3.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{{(4 x - 3)}^{\frac{1}{4} \cdot 4}}]$

Étape 3.5.3

Associez $\frac{1}{4}$ et $4$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{{(4 x - 3)}^{\frac{4}{4}}}]$

Étape 3.5.4

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{{(4 x - 3)}^{\frac{4}{4}}}]$

Étape 3.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{{(4 x - 3)}^{1}}]$

Étape 3.5.5

Simplifiez

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x} {\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}}{4 x - 3}]$

Étape 4

Réécrivez ${\sqrt[4]{4 x - 3}}^{3}$ comme $\sqrt[4]{{(4 x - 3)}^{3}}$ .

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x} \sqrt[4]{{(4 x - 3)}^{3}}}{4 x - 3}]$

Étape 5

Associez en utilisant la règle de produit pour les radicaux.

$\frac{d}{d y} [\frac{\sqrt[4]{2 x {(4 x - 3)}^{3}}}{4 x - 3}]$

Étape 6

Comme $\frac{\sqrt[4]{2 x {(4 x - 3)}^{3}}}{4 x - 3}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{\sqrt[4]{2 x {(4 x - 3)}^{3}}}{4 x - 3}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0$