Calcul infinitésimal Exemples

$y = 5 e^{x} + \frac{4}{\sqrt[3]{x}}$

Étape 1

Multipliez $\frac{4}{\sqrt[3]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4}{\sqrt[3]{x}} \cdot \frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}]$

Étape 2

Associez et simplifiez le dénominateur.

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Étape 2.1

Multipliez $\frac{4}{\sqrt[3]{x}}$ par $\frac{{\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{\sqrt[3]{x} {\sqrt[3]{x}}^{2}}]$

Étape 2.2

Élevez $\sqrt[3]{x}$ à la puissance $1$ .

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1} {\sqrt[3]{x}}^{2}}]$

Étape 2.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{1 + 2}}]$

Étape 2.4

Additionnez $1$ et $2$ .

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{\sqrt[3]{x}}^{3}}]$

Étape 2.5

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{3}$ comme $x$ .

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Étape 2.5.1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt[3]{x}$ comme $x^{\frac{1}{3}}$ .

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{{(x^{\frac{1}{3}})}^{3}}]$

Étape 2.5.2

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{1}{3} \cdot 3}}]$

Étape 2.5.3

Associez $\frac{1}{3}$ et $3$ .

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}]$

Étape 2.5.4

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 2.5.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{\frac{3}{3}}}]$

Étape 2.5.4.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x^{1}}]$

Étape 2.5.5

Simplifiez

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4 {\sqrt[3]{x}}^{2}}{x}]$

Étape 3

Réécrivez ${\sqrt[3]{x}}^{2}$ comme $\sqrt[3]{x^{2}}$ .

$\frac{d}{d y} [5 e^{x} + \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{x}]$

Étape 4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 e^{x} + \frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$ par rapport à $y$ est $\frac{d}{d y} [5 e^{x}] + \frac{d}{d y} [\frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{x}]$ .

$\frac{d}{d y} [5 e^{x}] + \frac{d}{d y} [\frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{x}]$

Étape 5

Comme $5 e^{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $5 e^{x}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d y} [\frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{x}]$

Étape 6

Comme $\frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$ est constant par rapport à $y$ , la dérivée de $\frac{4 \sqrt[3]{x^{2}}}{x}$ par rapport à $y$ est $0$ .

$0 + 0$

Étape 7

Additionnez $0$ et $0$ .

$0$