Calcul infinitésimal Exemples

$y = 2 \tan (\frac{1}{2} x) - x$

Étape 1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 \tan (\frac{1}{2} x) - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 \tan (\frac{1}{2} x)] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{d}{d x} [2 \tan (\frac{1}{2} x)] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 \tan (\frac{1}{2} x)]$ .

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Étape 2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et $x$ .

$\frac{d}{d x} [2 \tan (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.2

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 \tan (\frac{x}{2})$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2})]$ .

$2 \frac{d}{d x} [\tan (\frac{x}{2})] + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = \frac{x}{2}$ .

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Étape 2.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\frac{x}{2}$ .

$2 (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$2 (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\frac{x}{2}$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.4

Comme $\frac{1}{2}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{x}{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{2}) (\frac{1}{2} \cdot 1)) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.6

Multipliez $\frac{1}{2}$ par $1$ .

$2 (\sec^{2} (\frac{x}{2}) \frac{1}{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.7

Associez $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ et $\frac{1}{2}$ .

$2 \frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.8

Associez $2$ et $\frac{\sec^{2} (\frac{x}{2})}{2}$ .

$\frac{2 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.9

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 2.9.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 \sec^{2} (\frac{x}{2})}{2} + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 2.9.2

Divisez $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ par $1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) + \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x]$ .

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Étape 3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) - \frac{d}{d x} [x]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 1 \cdot 1$

Étape 3.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 1$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 1 + \sec^{2} (\frac{x}{2})$

Étape 4.2

Remettez dans l’ordre $- 1$ et $\sec^{2} (\frac{x}{2})$ .

$\sec^{2} (\frac{x}{2}) - 1$

Étape 4.3

Appliquez l’identité pythagoricienne.

$\tan^{2} (\frac{x}{2})$