Calcul infinitésimal Exemples

$y = 4 x (5 x^{2} - 3 x)$

Étape 1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x (5 x^{2} - 3 x)$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x (5 x^{2} - 3 x)]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x (5 x^{2} - 3 x)]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = 5 x^{2} - 3 x$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [5 x^{2} - 3 x] + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} - 3 x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ .

$4 (x (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$4 (x (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$4 (x (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.4

Multipliez $2$ par $5$ .

$4 (x (10 x + \frac{d}{d x} [- 3 x]) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.5

Comme $- 3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 3 x$ par rapport à $x$ est $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (10 x - 3 \frac{d}{d x} [x]) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (x (10 x - 3 \cdot 1) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.7

Multipliez $- 3$ par $1$ .

$4 (x (10 x - 3) + (5 x^{2} - 3 x) \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.8

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 (x (10 x - 3) + (5 x^{2} - 3 x) \cdot 1)$

Étape 3.9

Multipliez $5 x^{2} - 3 x$ par $1$ .

$4 (x (10 x - 3) + 5 x^{2} - 3 x)$

Étape 4

Simplifiez

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Étape 4.1

Appliquez la propriété distributive.

$4 (x (10 x) + x \cdot - 3 + 5 x^{2} - 3 x)$

Étape 4.2

Appliquez la propriété distributive.

$4 (x (10 x)) + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Étape 4.3

Associez des termes.

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Étape 4.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 (10 (x^{1} x)) + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Étape 4.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$4 (10 (x^{1} x^{1})) + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Étape 4.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$4 (10 x^{1 + 1}) + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Étape 4.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$4 (10 x^{2}) + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Étape 4.3.5

Multipliez $10$ par $4$ .

$40 x^{2} + 4 (x \cdot - 3) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Étape 4.3.6

Déplacez $- 3$ à gauche de $x$ .

$40 x^{2} + 4 (- 3 \cdot x) + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Étape 4.3.7

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$40 x^{2} - 12 x + 4 (5 x^{2}) + 4 (- 3 x)$

Étape 4.3.8

Multipliez $5$ par $4$ .

$40 x^{2} - 12 x + 20 x^{2} + 4 (- 3 x)$

Étape 4.3.9

Additionnez $40 x^{2}$ et $20 x^{2}$ .

$60 x^{2} - 12 x + 4 (- 3 x)$

Étape 4.3.10

Multipliez $- 3$ par $4$ .

$60 x^{2} - 12 x - 12 x$

Étape 4.3.11

Soustrayez $12 x$ de $- 12 x$ .

$60 x^{2} - 24 x$