Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{2} \arcsin (e^{x})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = \arcsin (e^{x})$ .

$x^{2} \frac{d}{d x} [\arcsin (e^{x})] + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arcsin (x)$ et $g (x) = e^{x}$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $e^{x}$ .

$x^{2} (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.2

La dérivée de $\arcsin (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ .

$x^{2} (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $e^{x}$ .

$x^{2} (\frac{1}{\sqrt{1 - {(e^{x})}^{2}}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3

Associez les fractions.

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Étape 3.1

Multipliez les exposants dans ${(e^{x})}^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{2} (\frac{1}{\sqrt{1 - e^{x \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.1.2

Déplacez $2$ à gauche de $x$ .

$x^{2} (\frac{1}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} \frac{d}{d x} [e^{x}]) + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.2

Associez $\frac{1}{\sqrt{1 - e^{2 x}}}$ et $x^{2}$ .

$\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} \frac{d}{d x} [e^{x}] + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 4

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ est $a^{x} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} e^{x} + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 5.1

Associez $\frac{x^{2}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}}$ et $e^{x}$ .

$\frac{x^{2} e^{x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} + \arcsin (e^{x}) \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 5.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{x^{2} e^{x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} + \arcsin (e^{x}) (2 x)$

Étape 5.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{x^{2} e^{x}}{\sqrt{1 - e^{2 x}}} + 2 x \arcsin (e^{x})$