Calcul infinitésimal Exemples

$y = \ln ({(5 - x)}^{6})$

Étape 1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = {(5 - x)}^{6}$ .

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Étape 1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme ${(5 - x)}^{6}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{6}]$

Étape 1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{6}]$

Étape 1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par ${(5 - x)}^{6}$ .

$\frac{1}{{(5 - x)}^{6}} \frac{d}{d x} [{(5 - x)}^{6}]$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{6}$ et $g (x) = 5 - x$ .

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Étape 2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $5 - x$ .

$\frac{1}{{(5 - x)}^{6}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{6}] \frac{d}{d x} [5 - x])$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 6$ .

$\frac{1}{{(5 - x)}^{6}} (6 {u_{2}}^{5} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Étape 2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $5 - x$ .

$\frac{1}{{(5 - x)}^{6}} (6 {(5 - x)}^{5} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Étape 3

Différenciez.

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Étape 3.1

Associez $6$ et $\frac{1}{{(5 - x)}^{6}}$ .

$\frac{6}{{(5 - x)}^{6}} ({(5 - x)}^{5} \frac{d}{d x} [5 - x])$

Étape 3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.1

Associez ${(5 - x)}^{5}$ et $\frac{6}{{(5 - x)}^{6}}$ .

$\frac{{(5 - x)}^{5} \cdot 6}{{(5 - x)}^{6}} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Étape 3.2.2

Déplacez $6$ à gauche de ${(5 - x)}^{5}$ .

$\frac{6 \cdot {(5 - x)}^{5}}{{(5 - x)}^{6}} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Étape 3.2.3

Annulez le facteur commun à ${(5 - x)}^{5}$ et ${(5 - x)}^{6}$ .

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Étape 3.2.3.1

Factorisez ${(5 - x)}^{5}$ à partir de $6 {(5 - x)}^{5}$ .

$\frac{{(5 - x)}^{5} \cdot 6}{{(5 - x)}^{6}} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Étape 3.2.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.3.2.1

Factorisez ${(5 - x)}^{5}$ à partir de ${(5 - x)}^{6}$ .

$\frac{{(5 - x)}^{5} \cdot 6}{{(5 - x)}^{5} (5 - x)} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Étape 3.2.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{{(5 - x)}^{5} \cdot 6}{{(5 - x)}^{5} (5 - x)} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Étape 3.2.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{6}{5 - x} \frac{d}{d x} [5 - x]$

Étape 3.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 - x$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{6}{5 - x} (\frac{d}{d x} [5] + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3.4

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{6}{5 - x} (0 + \frac{d}{d x} [- x])$

Étape 3.5

Additionnez $0$ et $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{6}{5 - x} \frac{d}{d x} [- x]$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{6}{5 - x} (- \frac{d}{d x} [x])$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{6}{5 - x} (- 1 \cdot 1)$

Étape 3.8

Associez les fractions.

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Étape 3.8.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{6}{5 - x} \cdot - 1$

Étape 3.8.2

Associez $\frac{6}{5 - x}$ et $- 1$ .

$\frac{6 \cdot - 1}{5 - x}$

Étape 3.8.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.8.3.1

Multipliez $6$ par $- 1$ .

$\frac{- 6}{5 - x}$

Étape 3.8.3.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{6}{5 - x}$