Calcul infinitésimal Exemples

$y = \log_{2} (4 x^{3})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\log_{2} (4 x^{3}))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \log_{2} (x)$ et $g (x) = 4 x^{3}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $4 x^{3}$ .

$\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\log_{2} (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $4 x^{3}$ .

$\frac{1}{4 x^{3} \ln (2)} \frac{d}{d x} [4 x^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x^{3}$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{1}{4 x^{3} \ln (2)} (4 \frac{d}{d x} [x^{3}])$

Étape 3.2.2

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.2.1

Associez $4$ et $\frac{1}{4 x^{3} \ln (2)}$ .

$\frac{4}{4 x^{3} \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2.2.2

Annulez le facteur commun de $4$ .

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Étape 3.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{4}{4 x^{3} \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{x^{3} \ln (2)} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{1}{x^{3} \ln (2)} (3 x^{2})$

Étape 3.2.4

Simplifiez les termes.

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Étape 3.2.4.1

Associez $3$ et $\frac{1}{x^{3} \ln (2)}$ .

$\frac{3}{x^{3} \ln (2)} x^{2}$

Étape 3.2.4.2

Associez $\frac{3}{x^{3} \ln (2)}$ et $x^{2}$ .

$\frac{3 x^{2}}{x^{3} \ln (2)}$

Étape 3.2.4.3

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x^{3}$ .

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Étape 3.2.4.3.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $3 x^{2}$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{3} \ln (2)}$

Étape 3.2.4.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.2.4.3.2.1

Factorisez $x^{2}$ à partir de $x^{3} \ln (2)$ .

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \ln (2))}$

Étape 3.2.4.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{x^{2} \cdot 3}{x^{2} (x \ln (2))}$

Étape 3.2.4.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{3}{x \ln (2)}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{3}{x \ln (2)}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{x \ln (2)}$