Calcul infinitésimal Exemples

$y = 3 \ln (x) - \frac{5}{x^{4}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (3 \ln (x) - \frac{5}{x^{4}})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $3 \ln (x) - \frac{5}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [3 \ln (x)]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 \ln (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [\ln (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

Étape 3.2.2

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$3 \frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

Étape 3.2.3

Associez $3$ et $\frac{1}{x}$ .

$\frac{3}{x} + \frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \frac{5}{x^{4}}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \frac{5}{x^{4}}$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$ .

$\frac{3}{x} - 5 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x^{4}}]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{1}{x^{4}}$ comme ${(x^{4})}^{- 1}$ .

$\frac{3}{x} - 5 \frac{d}{d x} [{(x^{4})}^{- 1}]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{- 1}$ et $g (x) = x^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x^{4}$ .

$\frac{3}{x} - 5 (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x^{4}$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- {(x^{4})}^{- 2} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- {(x^{4})}^{- 2} (4 x^{3}))$

Étape 3.3.5

Multipliez les exposants dans ${(x^{4})}^{- 2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.5.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- x^{4 \cdot - 2} (4 x^{3}))$

Étape 3.3.5.2

Multipliez $4$ par $- 2$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- x^{- 8} (4 x^{3}))$

Étape 3.3.6

Multipliez $4$ par $- 1$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 x^{- 8} x^{3})$

Étape 3.3.7

Multipliez $x^{- 8}$ par $x^{3}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.7.1

Déplacez $x^{3}$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 (x^{3} x^{- 8}))$

Étape 3.3.7.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 x^{3 - 8})$

Étape 3.3.7.3

Soustrayez $8$ de $3$ .

$\frac{3}{x} - 5 (- 4 x^{- 5})$

Étape 3.3.8

Multipliez $- 4$ par $- 5$ .

$\frac{3}{x} + 20 x^{- 5}$

Étape 3.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{3}{x} + 20 \frac{1}{x^{5}}$

Étape 3.4.2

Associez $20$ et $\frac{1}{x^{5}}$ .

$\frac{3}{x} + \frac{20}{x^{5}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{3}{x} + \frac{20}{x^{5}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{3}{x} + \frac{20}{x^{5}}$