Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{3 x}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{3 x})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $x^{3 x}$ comme $e^{\ln (x^{3 x})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{3 x})}]$

Étape 3.1.2

Développez $\ln (x^{3 x})$ en déplaçant $3 x$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{3 x \ln (x)}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = 3 x \ln (x)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $3 x \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [3 x \ln (x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [3 x \ln (x)]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $3 x \ln (x)$ .

$e^{3 x \ln (x)} \frac{d}{d x} [3 x \ln (x)]$

Étape 3.3

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 x \ln (x)$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)]$ .

$e^{3 x \ln (x)} (3 \frac{d}{d x} [x \ln (x)])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{3 x \ln (x)} (3 (x \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.5

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{3 x \ln (x)} (3 (x \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

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Étape 3.6.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x}$ .

$e^{3 x \ln (x)} (3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.6.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 3.6.2.1

Annulez le facteur commun.

$e^{3 x \ln (x)} (3 (\frac{x}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.6.2.2

Réécrivez l’expression.

$e^{3 x \ln (x)} (3 (1 + \ln (x) \frac{d}{d x} [x]))$

Étape 3.6.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{3 x \ln (x)} (3 (1 + \ln (x) \cdot 1))$

Étape 3.6.4

Multipliez $\ln (x)$ par $1$ .

$e^{3 x \ln (x)} (3 (1 + \ln (x)))$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{3 x \ln (x)} (3 \cdot 1 + 3 \ln (x))$

Étape 3.7.2

Appliquez la propriété distributive.

$e^{3 x \ln (x)} (3 \cdot 1) + e^{3 x \ln (x)} (3 \ln (x))$

Étape 3.7.3

Associez des termes.

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Étape 3.7.3.1

Multipliez $3$ par $1$ .

$e^{3 x \ln (x)} \cdot 3 + e^{3 x \ln (x)} (3 \ln (x))$

Étape 3.7.3.2

Déplacez $3$ à gauche de $e^{3 x \ln (x)}$ .

$3 e^{3 x \ln (x)} + e^{3 x \ln (x)} (3 \ln (x))$

Étape 3.7.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 e^{3 x \ln (x)} \ln (x) + 3 e^{3 x \ln (x)}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 3 e^{3 x \ln (x)} \ln (x) + 3 e^{3 x \ln (x)}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 e^{3 x \ln (x)} \ln (x) + 3 e^{3 x \ln (x)}$