Calcul infinitésimal Exemples

$y = \frac{x + y}{x - y}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\frac{x + y}{x - y})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x + y$ et $g (x) = x - y$ .

$\frac{(x - y) \frac{d}{d x} [x + y] - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + \frac{d}{d x} [y]) - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) \frac{d}{d x} [x - y]}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.7

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{(x - y) (1 + y') - (x + y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8

Simplifiez

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Étape 3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(x - y) (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.8.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.2.1.1

Développez $(x - y) (1 + y')$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.8.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x (1 + y') - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8.2.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y (1 + y') + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8.2.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x \cdot 1 + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8.2.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.2.1.2.1

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x + x y' - y \cdot 1 - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8.2.1.2.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' + (- x - y) (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8.2.1.3

Développez $(- x - y) (1 - y')$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.8.2.1.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x (1 - y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8.2.1.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y (1 - y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8.2.1.3.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + x y' - y - y y' - x \cdot 1 - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8.2.1.4

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.8.2.1.4.1

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x - x (- y') - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8.2.1.4.2

Multipliez $- x (- y')$ .

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Étape 3.8.2.1.4.2.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + 1 x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8.2.1.4.2.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y \cdot 1 - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8.2.1.4.3

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y - y (- y')}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8.2.1.4.4

Multipliez $- y (- y')$ .

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Étape 3.8.2.1.4.4.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + 1 y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8.2.1.4.4.2

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8.2.2

Associez les termes opposés dans $x + x y' - y - y y' - x + x y' - y + y y'$ .

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Étape 3.8.2.2.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{x y' - y - y y' + 0 + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8.2.2.2

Additionnez $x y' - y - y y'$ et $0$ .

$\frac{x y' - y - y y' + x y' - y + y y'}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8.2.2.3

Additionnez $- y y'$ et $y y'$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y + 0}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8.2.2.4

Additionnez $x y' - y + x y' - y$ et $0$ .

$\frac{x y' - y + x y' - y}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8.2.3

Additionnez $x y'$ et $x y'$ .

$\frac{2 x y' - y - y}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8.2.4

Soustrayez $y$ de $- y$ .

$\frac{2 x y' - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x y' - 2 y$ .

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Étape 3.8.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x y'$ .

$\frac{2 (x y') - 2 y}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8.3.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2 y$ .

$\frac{2 (x y') + 2 (- y)}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 3.8.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x y') + 2 (- y)$ .

$\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par ${(x - y)}^{2}$ .

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.1

Simplifiez $\frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de ${(x - y)}^{2}$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' {(x - y)}^{2} = \frac{2 (x y' - y)}{{(x - y)}^{2}} {(x - y)}^{2}$

Étape 5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y' - y)$

Étape 5.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' {(x - y)}^{2} = 2 (x y') + 2 (- y)$

Étape 5.2.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.1.3.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y' {(x - y)}^{2} = 2 x y' - 2 y$

Étape 5.2.1.3.2

Déplacez $x$ .

$y' {(x - y)}^{2} = 2 y' x - 2 y$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Déplacez tous les termes contenant $y'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.3.1.1

Soustrayez $2 y' x$ des deux côtés de l’équation.

$y' {(x - y)}^{2} - 2 y' x = - 2 y$

Étape 5.3.1.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.2.1

Réécrivez ${(x - y)}^{2}$ comme $(x - y) (x - y)$ .

$y' ((x - y) (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

Étape 5.3.1.2.2

Développez $(x - y) (x - y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.3.1.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' (x (x - y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

Étape 5.3.1.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' (x \cdot x + x (- y) - y (x - y)) - 2 y' x = - 2 y$

Étape 5.3.1.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$y' (x \cdot x + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

Étape 5.3.1.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.3.1.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$y' (x^{2} + x (- y) - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

Étape 5.3.1.2.3.1.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' (x^{2} - x y - y x - y (- y)) - 2 y' x = - 2 y$

Étape 5.3.1.2.3.1.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y \cdot y) - 2 y' x = - 2 y$

Étape 5.3.1.2.3.1.4

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.3.1.2.3.1.4.1

Déplacez $y$ .

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 (y \cdot y)) - 2 y' x = - 2 y$

Étape 5.3.1.2.3.1.4.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$y' (x^{2} - x y - y x - 1 \cdot - 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Étape 5.3.1.2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$y' (x^{2} - x y - y x + 1 y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Étape 5.3.1.2.3.1.6

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$y' (x^{2} - x y - y x + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Étape 5.3.1.2.3.2

Soustrayez $y x$ de $- x y$ .

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Étape 5.3.1.2.3.2.1

Déplacez $y$ .

$y' (x^{2} - x y - 1 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Étape 5.3.1.2.3.2.2

Soustrayez $x y$ de $- x y$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Étape 5.3.1.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Étape 5.3.1.2.5

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x = - 2 y$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $y' x^{2} - 2 y' x y + y' y^{2} - 2 y' x$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' x^{2}$ .

$y' (x^{2}) - 2 y' x y + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 y' x y$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' y^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) - 2 y' x = - 2 y$

Étape 5.3.2.4

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 y' x$ .

$y' (x^{2}) + y' (- 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

Étape 5.3.2.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x^{2}) + y' (- 2 x y)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

Étape 5.3.2.6

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x^{2} - 2 x y) + y' (y^{2})$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x) = - 2 y$

Étape 5.3.2.7

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2}) + y' (- 2 x)$ .

$y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$

Étape 5.3.3

Divisez chaque terme dans $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ par $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ et simplifiez.

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Étape 5.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x) = - 2 y$ par $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ .

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Étape 5.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x$ .

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Étape 5.3.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x)}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x} = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Étape 5.3.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Étape 5.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y}{x^{2} - 2 x y + y^{2} - 2 x}$