Calcul infinitésimal Exemples

$y = x^{\tan (x)}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x^{\tan (x)})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Utilisez les propriétés des logarithmes pour simplifier la différenciation.

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Étape 3.1.1

Réécrivez $x^{\tan (x)}$ comme $e^{\ln (x^{\tan (x)})}$ .

$\frac{d}{d x} [e^{\ln (x^{\tan (x)})}]$

Étape 3.1.2

Développez $\ln (x^{\tan (x)})$ en déplaçant $\tan (x)$ hors du logarithme.

$\frac{d}{d x} [e^{\tan (x) \ln (x)}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = \tan (x) \ln (x)$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $\tan (x) \ln (x)$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (x)]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (x)]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $\tan (x) \ln (x)$ .

$e^{\tan (x) \ln (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (x)]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = \ln (x)$ .

$e^{\tan (x) \ln (x)} (\tan (x) \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 3.4

La dérivée de $\ln (x)$ par rapport à $x$ est $\frac{1}{x}$ .

$e^{\tan (x) \ln (x)} (\tan (x) \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 3.5

Associez $\tan (x)$ et $\frac{1}{x}$ .

$e^{\tan (x) \ln (x)} (\frac{\tan (x)}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

Étape 3.6

La dérivée de $\tan (x)$ par rapport à $x$ est $\sec^{2} (x)$ .

$e^{\tan (x) \ln (x)} (\frac{\tan (x)}{x} + \ln (x) \sec^{2} (x))$

Étape 3.7

Simplifiez

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Étape 3.7.1

Appliquez la propriété distributive.

$e^{\tan (x) \ln (x)} \frac{\tan (x)}{x} + e^{\tan (x) \ln (x)} (\ln (x) \sec^{2} (x))$

Étape 3.7.2

Associez $e^{\tan (x) \ln (x)}$ et $\frac{\tan (x)}{x}$ .

$\frac{e^{\tan (x) \ln (x)} \tan (x)}{x} + e^{\tan (x) \ln (x)} \ln (x) \sec^{2} (x)$

Étape 3.7.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{\tan (x) \ln (x)} \sec^{2} (x) \ln (x) + \frac{e^{\tan (x) \ln (x)} \tan (x)}{x}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = e^{\tan (x) \ln (x)} \sec^{2} (x) \ln (x) + \frac{e^{\tan (x) \ln (x)} \tan (x)}{x}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = e^{\tan (x) \ln (x)} \sec^{2} (x) \ln (x) + \frac{e^{\tan (x) \ln (x)} \tan (x)}{x}$