Calcul infinitésimal Exemples

$x + y - 1 = \ln (x^{2} + y^{2})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x + y - 1) = \frac{d}{d x} (\ln (x^{2} + y^{2}))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 + y' + \frac{d}{d x} [- 1]$

Étape 2.4

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$1 + y' + 0$

Étape 2.5

Additionnez $1 + y'$ et $0$ .

$1 + y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\ln (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{u_{1}}$ .

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{2} + y^{2}$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + y^{2}]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$

Étape 3.5

Simplifiez

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Étape 3.5.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{x^{2} + y^{2}} (2 x + 2 y y')$ .

$(2 x + 2 y y') \frac{1}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 3.5.2

Multipliez $2 x + 2 y y'$ par $\frac{1}{x^{2} + y^{2}}$ .

$\frac{2 x + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 3.5.3

Factorisez $2$ à partir de $2 x + 2 y y'$ .

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Étape 3.5.3.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{2 (x) + 2 y y'}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 3.5.3.2

Factorisez $2$ à partir de $2 y y'$ .

$\frac{2 (x) + 2 (y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 3.5.3.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (x) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 + y' = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $x^{2} + y^{2}$ .

$(1 + y') (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Simplifiez $(1 + y') (x^{2} + y^{2})$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Développez $(1 + y') (x^{2} + y^{2})$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.1.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$1 (x^{2} + y^{2}) + y' (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y (y'))}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Étape 5.2.1.1.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$1 x^{2} + 1 y^{2} + y' (x^{2} + y^{2}) = \frac{2 (x + y (y'))}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Étape 5.2.1.1.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$1 x^{2} + 1 y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Étape 5.2.1.1.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.2.1.1.2.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.1.1.2.1.1

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + 1 y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Étape 5.2.1.1.2.1.2

Multipliez $y^{2}$ par $1$ .

$x^{2} + y^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Étape 5.2.1.1.2.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 5.2.1.1.2.2.1

Déplacez $y^{2}$ .

$x^{2} + y' x^{2} + y' y^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Étape 5.2.1.1.2.2.2

Déplacez $x^{2}$ .

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $\frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + y^{2}$ .

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Étape 5.2.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = \frac{2 (x + y y')}{x^{2} + y^{2}} (x^{2} + y^{2})$

Étape 5.2.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 (x + y y')$

Étape 5.2.2.1.2

Appliquez la propriété distributive.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 x + 2 (y y')$

Étape 5.2.2.1.3

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.1.3.1

Déplacez $y$ .

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 x + 2 y' y$

Étape 5.2.2.1.3.2

Remettez dans l’ordre $2 x$ et $2 y' y$ .

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} = 2 y' y + 2 x$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $2 y' y$ des deux côtés de l’équation.

$y' x^{2} + y' y^{2} + x^{2} + y^{2} - 2 y' y = 2 x$

Étape 5.3.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.2.1

Soustrayez $x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y' x^{2} + y' y^{2} + y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2}$

Étape 5.3.2.2

Soustrayez $y^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$y' x^{2} + y' y^{2} - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' x^{2} + y' y^{2} - 2 y' y$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $y' x^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Étape 5.3.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $y' y^{2}$ .

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) - 2 y' y = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 y' y$ .

$y' (x^{2}) + y' (y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Étape 5.3.3.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x^{2}) + y' (y^{2})$ .

$y' (x^{2} + y^{2}) + y' (- 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Étape 5.3.3.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x^{2} + y^{2}) + y' (- 2 y)$ .

$y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$

Étape 5.3.4

Divisez chaque terme dans $y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$ par $x^{2} + y^{2} - 2 y$ et simplifiez.

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Étape 5.3.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (x^{2} + y^{2} - 2 y) = 2 x - x^{2} - y^{2}$ par $x^{2} + y^{2} - 2 y$ .

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x^{2} + y^{2} - 2 y$ .

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Étape 5.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x^{2} + y^{2} - 2 y)}{x^{2} + y^{2} - 2 y} = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Étape 5.3.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Étape 5.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.4.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} + \frac{- y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Étape 5.3.4.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2 x}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Étape 5.3.4.3.2

Associez en une fraction.

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Étape 5.3.4.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 x - x^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y} - \frac{y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Étape 5.3.4.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{2 x - x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x - x^{2} - y^{2}}{x^{2} + y^{2} - 2 y}$