Calcul infinitésimal Exemples

$x - \cos (7 y) = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x - \cos (7 y)) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - \cos (7 y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 y)]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \cos (7 y)]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [- \cos (7 y)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (7 y)]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (7 y)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (7 y)]$ .

$1 - \frac{d}{d x} [\cos (7 y)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = 7 y$ .

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Étape 2.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7 y$ .

$1 - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [7 y])$

Étape 2.2.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$1 - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [7 y])$

Étape 2.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7 y$ .

$1 - (- \sin (7 y) \frac{d}{d x} [7 y])$

Étape 2.2.3

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7 y$ par rapport à $x$ est $7 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 - (- \sin (7 y) (7 \frac{d}{d x} [y]))$

Étape 2.2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 - (- \sin (7 y) (7 y'))$

Étape 2.2.5

Multipliez $7$ par $- 1$ .

$1 - (- 7 \sin (7 y) y')$

Étape 2.2.6

Multipliez $- 7$ par $- 1$ .

$1 + 7 \sin (7 y) y'$

Étape 2.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$7 \sin (7 y) y' + 1$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$7 \sin (7 y) y' + 1 = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $7 \sin (7 y) y' + 1$ .

$7 y' \sin (7 y) + 1 = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$7 y' \sin (7 y) = - 1$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $7 y' \sin (7 y) = - 1$ par $7 \sin (7 y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $7 y' \sin (7 y) = - 1$ par $7 \sin (7 y)$ .

$\frac{7 y' \sin (7 y)}{7 \sin (7 y)} = \frac{- 1}{7 \sin (7 y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $7$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{7 y' \sin (7 y)}{7 \sin (7 y)} = \frac{- 1}{7 \sin (7 y)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' \sin (7 y)}{\sin (7 y)} = \frac{- 1}{7 \sin (7 y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $\sin (7 y)$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \sin (7 y)}{\sin (7 y)} = \frac{- 1}{7 \sin (7 y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 1}{7 \sin (7 y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Séparez les fractions.

$y' = \frac{- 1}{7} \cdot \frac{1}{\sin (7 y)}$

Étape 5.3.3.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (7 y)}$ à $\csc (7 y)$ .

$y' = \frac{- 1}{7} \csc (7 y)$

Étape 5.3.3.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1}{7} \csc (7 y)$

Étape 5.3.3.4

Associez $\csc (7 y)$ et $\frac{1}{7}$ .

$y' = - \frac{\csc (7 y)}{7}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (7 y)}{7}$