Calcul infinitésimal Exemples

$\cot (y) = 4 x - 5 y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\cot (y)) = \frac{d}{d x} (4 x - 5 y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cot (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [\cot (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\cot (u)$ par rapport à $u$ est $- \csc^{2} (u)$ .

$- \csc^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$- \csc^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \csc^{2} (y) y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 x - 5 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

$\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [4 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4 x$ par rapport à $x$ est $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Étape 3.2.3

Multipliez $4$ par $1$ .

$4 + \frac{d}{d x} [- 5 y]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 5 y]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 5 y$ par rapport à $x$ est $- 5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$4 - 5 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 - 5 y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- \csc^{2} (y) y' = 4 - 5 y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- \csc^{2} (y) y'$ .

$- y' \csc^{2} (y) = 4 - 5 y'$

Étape 5.2

Ajoutez $5 y'$ aux deux côtés de l’équation.

$- y' \csc^{2} (y) + 5 y' = 4$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $- y' \csc^{2} (y) + 5 y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $- y' \csc^{2} (y)$ .

$y' (- 1 \csc^{2} (y)) + 5 y' = 4$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $5 y'$ .

$y' (- 1 \csc^{2} (y)) + y' \cdot 5 = 4$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 1 \csc^{2} (y)) + y' \cdot 5$ .

$y' (- 1 \csc^{2} (y) + 5) = 4$

Étape 5.4

Réécrivez $- 1 \csc^{2} (y)$ comme $- \csc^{2} (y)$ .

$y' (- \csc^{2} (y) + 5) = 4$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (- \csc^{2} (y) + 5) = 4$ par $- \csc^{2} (y) + 5$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (- \csc^{2} (y) + 5) = 4$ par $- \csc^{2} (y) + 5$ .

$\frac{y' (- \csc^{2} (y) + 5)}{- \csc^{2} (y) + 5} = \frac{4}{- \csc^{2} (y) + 5}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $- \csc^{2} (y) + 5$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- \csc^{2} (y) + 5)}{- \csc^{2} (y) + 5} = \frac{4}{- \csc^{2} (y) + 5}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{4}{- \csc^{2} (y) + 5}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- \csc^{2} (y)$ .

$y' = \frac{4}{- (\csc^{2} (y)) + 5}$

Étape 5.5.3.2

Réécrivez $5$ comme $- 1 (- 5)$ .

$y' = \frac{4}{- (\csc^{2} (y)) - 1 (- 5)}$

Étape 5.5.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (\csc^{2} (y)) - 1 (- 5)$ .

$y' = \frac{4}{- (\csc^{2} (y) - 5)}$

Étape 5.5.3.4

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.5.3.4.1

Réécrivez $- (\csc^{2} (y) - 5)$ comme $- 1 (\csc^{2} (y) - 5)$ .

$y' = \frac{4}{- 1 (\csc^{2} (y) - 5)}$

Étape 5.5.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{4}{\csc^{2} (y) - 5}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{4}{\csc^{2} (y) - 5}$