Calcul infinitésimal Exemples

$\arctan (x + y) = y^{2} + \frac{π}{4}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\arctan (x + y)) = \frac{d}{d x} (y^{2} + \frac{π}{4})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = x + y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\arctan (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 2.2

Différenciez.

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Étape 2.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + y')$

Étape 2.4

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} (1 + y')$ .

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + \frac{π}{4}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Étape 3.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Étape 3.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [\frac{π}{4}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $\frac{π}{4}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $\frac{π}{4}$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 y y' + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $2 y y'$ et $0$ .

$2 y y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$(1 + y') (\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}) = 2 y y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez $(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$ .

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Étape 5.1.1

Réécrivez.

$0 + 0 + (1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Étape 5.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$(1 + y') \frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Étape 5.1.3

Multipliez $1 + y'$ par $\frac{1}{1 + {(x + y)}^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + {(x + y)}^{2}} = 2 y y'$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $y'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $2 y y'$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{1 + y'}{1 + {(x + y)}^{2}} - 2 y y' = 0$

Étape 5.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.2.2.1

Réécrivez ${(x + y)}^{2}$ comme $(x + y) (x + y)$ .

$\frac{1 + y'}{1 + (x + y) (x + y)} - 2 y y' = 0$

Étape 5.2.2.2

Développez $(x + y) (x + y)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 5.2.2.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + y'}{1 + x (x + y) + y (x + y)} - 2 y y' = 0$

Étape 5.2.2.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + y'}{1 + x \cdot x + x y + y (x + y)} - 2 y y' = 0$

Étape 5.2.2.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + y'}{1 + x \cdot x + x y + y x + y \cdot y} - 2 y y' = 0$

Étape 5.2.2.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 5.2.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.2.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + y x + y \cdot y} - 2 y y' = 0$

Étape 5.2.2.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + y x + y^{2}} - 2 y y' = 0$

Étape 5.2.2.3.2

Additionnez $x y$ et $y x$ .

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Étape 5.2.2.3.2.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $x$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + x y + x y + y^{2}} - 2 y y' = 0$

Étape 5.2.2.3.2.2

Additionnez $x y$ et $x y$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} - 2 y y' = 0$

Étape 5.2.3

Pour écrire $- 2 y y'$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} - 2 y y' \cdot \frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Étape 5.2.4

Associez $- 2 y y'$ et $\frac{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}}$ .

$\frac{1 + y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} + \frac{- 2 y y' (1 + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Étape 5.2.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1 + y' - 2 y y' (1 + x^{2} + 2 x y + y^{2})}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Étape 5.2.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1 + y' - 2 y y' \cdot 1 - 2 y y' x^{2} - 2 y y' (2 x y) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Étape 5.2.6.2

Simplifiez

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Étape 5.2.6.2.1

Multipliez $- 2$ par $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y y' (2 x y) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Étape 5.2.6.2.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.6.2.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 (y \cdot y) y' (2 x) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Étape 5.2.6.2.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y y' y^{2}}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Étape 5.2.6.2.3

Multipliez $y$ par $y^{2}$ en additionnant les exposants.

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Étape 5.2.6.2.3.1

Déplacez $y^{2}$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 (y^{2} y) y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Étape 5.2.6.2.3.2

Multipliez $y^{2}$ par $y$ .

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Étape 5.2.6.2.3.2.1

Élevez $y$ à la puissance $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 (y^{2} y^{1}) y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Étape 5.2.6.2.3.2.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y^{2 + 1} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Étape 5.2.6.2.3.3

Additionnez $2$ et $1$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 2 y^{2} y' (2 x) - 2 y^{3} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Étape 5.2.6.3

Multipliez $2$ par $- 2$ .

$\frac{1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y'}{1 + x^{2} + 2 x y + y^{2}} = 0$

Étape 5.3

Définissez le numérateur égal à zéro.

$1 + y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = 0$

Étape 5.4

Résolvez l’équation pour $y'$ .

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Étape 5.4.1

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $y' - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y'$ .

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Étape 5.4.2.1

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - 2 y y' - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Étape 5.4.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 y y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) - 2 y y' x^{2} - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Étape 5.4.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 y y' x^{2}$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) - 4 y^{2} y' x - 2 y^{3} y' = - 1$

Étape 5.4.2.4

Factorisez $y'$ à partir de $- 4 y^{2} y' x$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) - 2 y^{3} y' = - 1$

Étape 5.4.2.5

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 y^{3} y'$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Étape 5.4.2.6

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot 1 + y' (- 2 y)$ .

$y' \cdot (1 - 2 y) + y' (- 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Étape 5.4.2.7

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot (1 - 2 y) + y' (- 2 y x^{2})$ .

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Étape 5.4.2.8

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2}) + y' (- 4 y^{2} x)$ .

$y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3}) = - 1$

Étape 5.4.2.9

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x) + y' (- 2 y^{3})$ .

$y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$

Étape 5.4.3

Divisez chaque terme dans $y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$ par $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ et simplifiez.

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Étape 5.4.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}) = - 1$ par $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ .

$\frac{y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3})}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}} = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Étape 5.4.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.3.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}$ .

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Étape 5.4.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3})}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}} = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Étape 5.4.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Étape 5.4.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{1}{1 - 2 y - 2 y x^{2} - 4 y^{2} x - 2 y^{3}}$