Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (5 y) = x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\sin (5 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = 5 y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $5 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [5 y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $5 y$ .

$\cos (5 y) \frac{d}{d x} [5 y]$

Étape 2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 y$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (5 y) (5 \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\cos (5 y) (5 y')$

Étape 2.4

Réorganisez les facteurs de $\cos (5 y) (5 y')$ .

$5 \cos (5 y) y'$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$5 \cos (5 y) y' = 1$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $5 \cos (5 y) y' = 1$ par $5 \cos (5 y)$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $5 \cos (5 y) y' = 1$ par $5 \cos (5 y)$ .

$\frac{5 \cos (5 y) y'}{5 \cos (5 y)} = \frac{1}{5 \cos (5 y)}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $5$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{5 \cos (5 y) y'}{5 \cos (5 y)} = \frac{1}{5 \cos (5 y)}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{\cos (5 y) y'}{\cos (5 y)} = \frac{1}{5 \cos (5 y)}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (5 y)$ .

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{\cos (5 y) y'}{\cos (5 y)} = \frac{1}{5 \cos (5 y)}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{5 \cos (5 y)}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Séparez les fractions.

$y' = \frac{1}{5} \cdot \frac{1}{\cos (5 y)}$

Étape 5.3.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (5 y)}$ à $\sec (5 y)$ .

$y' = \frac{1}{5} \sec (5 y)$

Étape 5.3.3

Associez $\frac{1}{5}$ et $\sec (5 y)$ .

$y' = \frac{\sec (5 y)}{5}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (5 y)}{5}$