Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (y) = e^{y} \sin (x)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\ln (y)) = \frac{d}{d x} (e^{y} \sin (x))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\frac{1}{y} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{y} y'$

Étape 2.3

Associez $\frac{1}{y}$ et $y'$ .

$\frac{y'}{y}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = e^{y}$ et $g (x) = \sin (x)$ .

$e^{y} \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Étape 3.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [e^{y}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (e^{u} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) (e^{y} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$e^{y} \cos (x) + \sin (x) e^{y} y'$

Étape 3.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y'$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{y'}{y} = e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y'$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Multipliez les deux côtés par $y$ .

$\frac{y'}{y} y = (e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$

Étape 5.2

Simplifiez

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Étape 5.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y'}{y} y = (e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$

Étape 5.2.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = (e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.2.1

Simplifiez $(e^{y} \cos (x) + e^{y} \sin (x) y') y$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' = e^{y} \cos (x) y + e^{y} \sin (x) y' y$

Étape 5.2.2.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.2.2.1.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{y} \cos (x) y + e^{y} \sin (x) y' y$ .

$y' = y e^{y} \cos (x) + y' y e^{y} \sin (x)$

Étape 5.2.2.1.2.2

Remettez dans l’ordre $y e^{y} \cos (x)$ et $y' y e^{y} \sin (x)$ .

$y' = y' y e^{y} \sin (x) + y e^{y} \cos (x)$

Étape 5.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.3.1

Soustrayez $y' y e^{y} \sin (x)$ des deux côtés de l’équation.

$y' - y' y e^{y} \sin (x) = y e^{y} \cos (x)$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $y' - y' y e^{y} \sin (x)$ .

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Étape 5.3.2.1

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - y' y e^{y} \sin (x) = y e^{y} \cos (x)$

Étape 5.3.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y' y e^{y} \sin (x)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$

Étape 5.3.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot 1 + y' (- 1 y e^{y} \sin (x))$ .

$y' (1 - 1 y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$

Étape 5.3.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$y' (1 - y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$

Étape 5.3.4

Divisez chaque terme dans $y' (1 - y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$ par $1 - y e^{y} \sin (x)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (1 - y e^{y} \sin (x)) = y e^{y} \cos (x)$ par $1 - y e^{y} \sin (x)$ .

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (x))}{1 - y e^{y} \sin (x)} = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$

Étape 5.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.4.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - y e^{y} \sin (x)$ .

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Étape 5.3.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (1 - y e^{y} \sin (x))}{1 - y e^{y} \sin (x)} = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$

Étape 5.3.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y e^{y} \cos (x)}{1 - y e^{y} \sin (x)}$