Calcul infinitésimal Exemples

$y = {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2}})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{3}{2}}$ et $g (x) = 6 x^{3} + 7$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $6 x^{3} + 7$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{3}{2}}] \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} u^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $6 x^{3} + 7$ .

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Étape 3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Étape 3.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{3 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Étape 3.5.2

Soustrayez $2$ de $3$ .

$\frac{3}{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Étape 3.6

Associez $\frac{3}{2}$ et ${(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [6 x^{3} + 7]$

Étape 3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $6 x^{3} + 7$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7]$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (\frac{d}{d x} [6 x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 3.8

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x^{3}$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (6 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 3.10

Multipliez $3$ par $6$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (18 x^{2} + \frac{d}{d x} [7])$

Étape 3.11

Comme $7$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $7$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (18 x^{2} + 0)$

Étape 3.12

Simplifiez les termes.

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Étape 3.12.1

Additionnez $18 x^{2}$ et $0$ .

$\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} (18 x^{2})$

Étape 3.12.2

Associez $18$ et $\frac{3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{18 (3 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}})}{2} x^{2}$

Étape 3.12.3

Multipliez $3$ par $18$ .

$\frac{54 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2} x^{2}$

Étape 3.12.4

Associez $\frac{54 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}}{2}$ et $x^{2}$ .

$\frac{54 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{2}$

Étape 3.12.5

Factorisez $2$ à partir de $54 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$\frac{2 (27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2}$

Étape 3.13

Annulez les facteurs communs.

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Étape 3.13.1

Factorisez $2$ à partir de $2$ .

$\frac{2 (27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 (1)}$

Étape 3.13.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2})}{2 \cdot 1}$

Étape 3.13.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}}{1}$

Étape 3.13.4

Divisez $27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ par $1$ .

$27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$

Étape 3.14

Réorganisez les facteurs de $27 {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}} x^{2}$ .

$27 x^{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 27 x^{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 27 x^{2} {(6 x^{3} + 7)}^{\frac{1}{2}}$