Calcul infinitésimal Exemples

$y = \tan (\sqrt{7 t})$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{7 t}$ comme ${(7 t)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = \tan ({(7 t)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} (\tan ({(7 t)}^{\frac{1}{2}}))$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $t$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.1.1

Factorisez $7$ à partir de $7 t$ .

$\frac{d}{d t} [\tan ({(7 (t))}^{\frac{1}{2}})]$

Étape 4.1.2

Appliquez la règle de produit à $7 (t)$ .

$\frac{d}{d t} [\tan (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = \tan (t)$ et $g (t) = 7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d t} [7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$\sec^{2} (u) \frac{d}{d t} [7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{d}{d t} [7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.3

Différenciez.

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Étape 4.3.1

Comme $7^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $t$ est $7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}]$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}])$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}))$

Étape 4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

Étape 4.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}))$

Étape 4.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}))$

Étape 4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}))$

Étape 4.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $t^{- \frac{1}{2}}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) (7^{\frac{1}{2}} \frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2})$

Étape 4.10

Associez $7^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{t^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{7^{\frac{1}{2}} t^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.11

Placez $t^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.12

Associez $\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})$ et $\frac{7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 7^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.13

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) \cdot 7^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = \frac{7^{\frac{1}{2}} \sec^{2} (7^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}$