Calcul infinitésimal Exemples

$y = (4 t - 1) {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d t} (y) = \frac{d}{d t} ((4 t - 1) {(2 t - 2)}^{- 1})$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $t$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ est $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ où $f (t) = 4 t - 1$ et $g (t) = {(2 t - 2)}^{- 1}$ .

$(4 t - 1) \frac{d}{d t} [{(2 t - 2)}^{- 1}] + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ est $f' (g (t)) g' (t)$ où $f (t) = t^{- 1}$ et $g (t) = 2 t - 2$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $2 t - 2$ .

$(4 t - 1) (\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = - 1$ .

$(4 t - 1) (- u^{- 2} \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $2 t - 2$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} \frac{d}{d t} [2 t - 2]) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Étape 3.3

Différenciez.

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Étape 3.3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 t - 2$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Étape 3.3.2

Comme $2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $2 t$ par rapport à $t$ est $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Étape 3.3.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Étape 3.3.4

Multipliez $2$ par $1$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 + \frac{d}{d t} [- 2])) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Étape 3.3.5

Comme $- 2$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $t$ est $0$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} (2 + 0)) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Étape 3.3.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.6.1

Additionnez $2$ et $0$ .

$(4 t - 1) (- {(2 t - 2)}^{- 2} \cdot 2) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Étape 3.3.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} \frac{d}{d t} [4 t - 1]$

Étape 3.3.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $4 t - 1$ par rapport à $t$ est $\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 1]$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (\frac{d}{d t} [4 t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Étape 3.3.8

Comme $4$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $4 t$ par rapport à $t$ est $4 \frac{d}{d t} [t]$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 1])$

Étape 3.3.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ est $n t^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Étape 3.3.10

Multipliez $4$ par $1$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 + \frac{d}{d t} [- 1])$

Étape 3.3.11

Comme $- 1$ est constant par rapport à $t$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $t$ est $0$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} (4 + 0)$

Étape 3.3.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.3.12.1

Additionnez $4$ et $0$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + {(2 t - 2)}^{- 1} \cdot 4$

Étape 3.3.12.2

Déplacez $4$ à gauche de ${(2 t - 2)}^{- 1}$ .

$(4 t - 1) (- 2 {(2 t - 2)}^{- 2}) + 4 \cdot {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4

Simplifiez

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Étape 3.4.1

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 {(2 t - 2)}^{- 2} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.2.1

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 t - 2)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4.2.2

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 3.4.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 t - 2$ .

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Étape 3.4.2.2.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 t$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 (t) - 2)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4.2.2.1.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 (t) + 2 (- 1))}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4.2.2.1.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (t) + 2 (- 1)$ .

$- 2 \frac{1}{{(2 (t - 1))}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4.2.2.2

Appliquez la règle de produit à $2 (t - 1)$ .

$- 2 \frac{1}{2^{2} {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4.2.2.3

Élevez $2$ à la puissance $2$ .

$- 2 \frac{1}{4 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4.2.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.3.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$2 (- 1) \frac{1}{4 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4.2.3.2

Factorisez $2$ à partir de $4 {(t - 1)}^{2}$ .

$2 (- 1) \frac{1}{2 (2 {(t - 1)}^{2})} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4.2.3.3

Annulez le facteur commun.

$2 \cdot - 1 \frac{1}{2 (2 {(t - 1)}^{2})} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4.2.3.4

Réécrivez l’expression.

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t - 1) + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4.2.4

Appliquez la propriété distributive.

$- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4.2.5

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.5.1

Placez le signe négatif initial dans $- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$ dans le numérateur.

$\frac{- 1}{2 {(t - 1)}^{2}} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4.2.5.2

Factorisez $2$ à partir de $2 {(t - 1)}^{2}$ .

$\frac{- 1}{2 ({(t - 1)}^{2})} (4 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4.2.5.3

Factorisez $2$ à partir de $4 t$ .

$\frac{- 1}{2 ({(t - 1)}^{2})} (2 (2 t)) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4.2.5.4

Annulez le facteur commun.

$\frac{- 1}{2 {(t - 1)}^{2}} (2 (2 t)) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4.2.5.5

Réécrivez l’expression.

$\frac{- 1}{{(t - 1)}^{2}} (2 t) - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4.2.6

Associez $2$ et $\frac{- 1}{{(t - 1)}^{2}}$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{{(t - 1)}^{2}} t - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4.2.7

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}} t - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4.2.8

Associez $\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}}$ et $t$ .

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} - \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1 + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4.2.9

Multipliez $- \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} \cdot - 1$ .

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Étape 3.4.2.9.1

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} + 1 \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4.2.9.2

Multipliez $\frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$ par $1$ .

$\frac{- 2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4.2.10

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 {(2 t - 2)}^{- 1}$

Étape 3.4.2.11

Réécrivez l’expression en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 t - 2}$

Étape 3.4.2.12

Factorisez $2$ à partir de $2 t - 2$ .

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Étape 3.4.2.12.1

Factorisez $2$ à partir de $2 t$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t) - 2}$

Étape 3.4.2.12.2

Factorisez $2$ à partir de $- 2$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t) + 2 (- 1)}$

Étape 3.4.2.12.3

Factorisez $2$ à partir de $2 (t) + 2 (- 1)$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 4 \frac{1}{2 (t - 1)}$

Étape 3.4.2.13

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 3.4.2.13.1

Factorisez $2$ à partir de $4$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 (2) \frac{1}{2 (t - 1)}$

Étape 3.4.2.13.2

Annulez le facteur commun.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 \cdot 2 \frac{1}{2 (t - 1)}$

Étape 3.4.2.13.3

Réécrivez l’expression.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + 2 \frac{1}{t - 1}$

Étape 3.4.2.14

Associez $2$ et $\frac{1}{t - 1}$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}} + \frac{2}{t - 1}$

Étape 3.4.3

Pour écrire $\frac{2}{t - 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{t - 1}{t - 1}$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2}{t - 1} \cdot \frac{t - 1}{t - 1} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun ${(t - 1)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.4.1

Multipliez $\frac{2}{t - 1}$ par $\frac{t - 1}{t - 1}$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{(t - 1) (t - 1)} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.2

Élevez $t - 1$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1} (t - 1)} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.3

Élevez $t - 1$ à la puissance $1$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1} {(t - 1)}^{1}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.4

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{1 + 1}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.4.5

Additionnez $1$ et $1$ .

$- \frac{2 t}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 t + 2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.6

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.4.6.1

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.6.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 t + 2 (t - 1)$ .

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Étape 3.4.6.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 t$ .

$\frac{2 (- t) + 2 (t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.6.1.1.2

Factorisez $2$ à partir de $2 (- t) + 2 (t - 1)$ .

$\frac{2 (- t + t - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.6.1.2

Additionnez $- t$ et $t$ .

$\frac{2 (0 - 1)}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.6.1.3

Soustrayez $1$ de $0$ .

$\frac{2 \cdot - 1}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.6.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$\frac{- 2}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.6.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.7

Pour écrire $- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2}{{(t - 1)}^{2}} \cdot \frac{2}{2} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $2 {(t - 1)}^{2}$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.8.1

Multipliez $\frac{2}{{(t - 1)}^{2}}$ par $\frac{2}{2}$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{{(t - 1)}^{2} \cdot 2} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.8.2

Réorganisez les facteurs de ${(t - 1)}^{2} \cdot 2$ .

$- \frac{2 \cdot 2}{2 {(t - 1)}^{2}} + \frac{1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 \cdot 2 + 1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.10

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.4.10.1

Multipliez $- 2$ par $2$ .

$\frac{- 4 + 1}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.10.2

Additionnez $- 4$ et $1$ .

$\frac{- 3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Étape 3.4.11

Placez le signe moins devant la fraction.

$- \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = - \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d t}$ .

$\frac{d y}{d t} = - \frac{3}{2 {(t - 1)}^{2}}$