Calcul infinitésimal Exemples

$y = (x + 1) (x^{2} - 1)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ((x + 1) (x^{2} - 1))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x + 1$ et $g (x) = x^{2} - 1$ .

$(x + 1) \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$(x + 1) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x + 1) (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 3.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$(x + 1) (2 x + 0) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.4.1

Additionnez $2 x$ et $0$ .

$(x + 1) (2 x) + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 3.2.4.2

Déplacez $2$ à gauche de $x + 1$ .

$2 \cdot (x + 1) x + (x^{2} - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]$

Étape 3.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])$

Étape 3.2.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) (1 + 0)$

Étape 3.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$2 (x + 1) x + (x^{2} - 1) \cdot 1$

Étape 3.2.8.2

Multipliez $x^{2} - 1$ par $1$ .

$2 (x + 1) x + x^{2} - 1$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$(2 x + 2 \cdot 1) x + x^{2} - 1$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$2 x \cdot x + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Étape 3.3.3

Associez des termes.

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Étape 3.3.3.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x) + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Étape 3.3.3.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Étape 3.3.3.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{1 + 1} + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Étape 3.3.3.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x^{2} + 2 \cdot 1 x + x^{2} - 1$

Étape 3.3.3.5

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 x^{2} + 2 x + x^{2} - 1$

Étape 3.3.3.6

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$3 x^{2} + 2 x - 1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = 3 x^{2} + 2 x - 1$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x^{2} + 2 x - 1$