Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} - x^{2} - x y = 4$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} - x^{2} - x y) = \frac{d}{d x} (4)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} - x^{2} - x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [- x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$3 x^{2} - \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 x^{2} - (2 x) + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 x + \frac{d}{d x} [- x y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x y]$ .

$3 x^{2} - 2 x - \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$3 x^{2} - 2 x - (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} - 2 x - (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$3 x^{2} - 2 x - (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$3 x^{2} - 2 x - (x y' + y)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$3 x^{2} - 2 x - (x y') - y$

Étape 2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 x^{2} - 2 x - x y' - y$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{2} - x y' - 2 x - y$

Étape 3

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} - x y' - 2 x - y = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- x y' - 2 x - y = - 3 x^{2}$

Étape 5.1.2

Ajoutez $2 x$ aux deux côtés de l’équation.

$- x y' - y = - 3 x^{2} + 2 x$

Étape 5.1.3

Ajoutez $y$ aux deux côtés de l’équation.

$- x y' = - 3 x^{2} + 2 x + y$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $- x y' = - 3 x^{2} + 2 x + y$ par $- x$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $- x y' = - 3 x^{2} + 2 x + y$ par $- x$ .

$\frac{- x y'}{- x} = \frac{- 3 x^{2}}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 3 x^{2}}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 5.2.3.1.1.1

Factorisez $x$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{x (- 3 x)}{- x} + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Étape 5.2.3.1.1.2

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{- 3 x}{- 1}$ .

$y' = - 1 \cdot (- 3 x) + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Étape 5.2.3.1.2

Réécrivez $- 1 \cdot (- 3 x)$ comme $- (- 3 x)$ .

$y' = - (- 3 x) + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Étape 5.2.3.1.3

Multipliez $- 3$ par $- 1$ .

$y' = 3 x + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Étape 5.2.3.1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$y' = 3 x + \frac{2 x}{- x} + \frac{y}{- x}$

Étape 5.2.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$y' = 3 x + \frac{2}{- 1} + \frac{y}{- x}$

Étape 5.2.3.1.4.3

Déplacez le moins un du dénominateur de $\frac{2}{- 1}$ .

$y' = 3 x - 1 \cdot 2 + \frac{y}{- x}$

Étape 5.2.3.1.5

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$y' = 3 x - 2 + \frac{y}{- x}$

Étape 5.2.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = 3 x - 2 - \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = 3 x - 2 - \frac{y}{x}$