Calcul infinitésimal Exemples

$1 + \ln (x y) = e^{x - y}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (1 + \ln (x y)) = \frac{d}{d x} (e^{x - y})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + \ln (x y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Étape 2.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [\ln (x y)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [\ln (x y)]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$0 + \frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$0 + \frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$0 + \frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$0 + \frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$0 + \frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$0 + \frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$0 + \frac{1}{x y} (x y' + y)$

Étape 2.3

Simplifiez

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Étape 2.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$0 + \frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Étape 2.3.2

Associez des termes.

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Étape 2.3.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x y}$ .

$0 + \frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Étape 2.3.2.2

Associez $\frac{x}{x y}$ et $y'$ .

$0 + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Étape 2.3.2.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 2.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Étape 2.3.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Étape 2.3.2.4

Associez $\frac{1}{x y}$ et $y$ .

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Étape 2.3.2.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 2.3.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Étape 2.3.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$0 + \frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Étape 2.3.2.6

Additionnez $0$ et $\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x - y$ .

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Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x - y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x - y$ .

$e^{x - y} \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$e^{x - y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x - y} (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Étape 3.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x - y} (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$e^{x - y} (1 - y')$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} (1 - y')$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez $e^{x - y} (1 - y')$ .

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Étape 5.1.1

Réécrivez.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0 + 0 + e^{x - y} (1 - y')$

Étape 5.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} (1 - y')$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} \cdot 1 + e^{x - y} (- y')$

Étape 5.1.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.1.4.1

Multipliez $e^{x - y}$ par $1$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} + e^{x - y} (- y')$

Étape 5.1.4.2

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} - e^{x - y} y'$

Étape 5.1.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x - y} - e^{x - y} y'$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y} - y' e^{x - y}$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $y'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Ajoutez $y' e^{x - y}$ aux deux côtés de l’équation.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} + y' e^{x - y} = e^{x - y}$

Étape 5.2.2

Pour écrire $y' e^{x - y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Étape 5.2.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y' + y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Étape 5.2.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' + y' e^{x - y} y$ .

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Étape 5.2.4.1

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$\frac{{y'}^{1} + y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Étape 5.2.4.2

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$\frac{y' \cdot 1 + y' e^{x - y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Étape 5.2.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' e^{x - y} y$ .

$\frac{y' \cdot 1 + y' (e^{x - y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Étape 5.2.4.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot 1 + y' (e^{x - y} y)$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Étape 5.2.5

Pour écrire $\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = e^{x - y}$

Étape 5.2.6

Pour écrire $\frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x - y}$

Étape 5.2.7

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.2.7.1

Multipliez $\frac{y' (1 + e^{x - y} y)}{y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x}{y x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x - y}$

Étape 5.2.7.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x}{y x} + \frac{y}{x y} = e^{x - y}$

Étape 5.2.7.3

Réorganisez les facteurs de $y x$ .

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x}{x y} + \frac{y}{x y} = e^{x - y}$

Étape 5.2.8

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y' (1 + e^{x - y} y) x + y}{x y} = e^{x - y}$

Étape 5.2.9

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.9.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(y' \cdot 1 + y' (e^{x - y} y)) x + y}{x y} = e^{x - y}$

Étape 5.2.9.2

Multipliez $y'$ par $1$ .

$\frac{(y' + y' (e^{x - y} y)) x + y}{x y} = e^{x - y}$

Étape 5.2.9.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y' x + y' e^{x - y} y x + y}{x y} = e^{x - y}$

Étape 5.2.10

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{y' x + y' e^{x - y} y x + y}{x y}$ .

$\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} = e^{x - y}$

Étape 5.3

Multipliez les deux côtés par $x y$ .

$\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} (x y) = e^{x - y} (x y)$

Étape 5.4

Simplifiez

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Étape 5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.1.1

Simplifiez $\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} (x y)$ .

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Étape 5.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $x y$ .

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Étape 5.4.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' x + y' y x e^{x - y} + y}{x y} (x y) = e^{x - y} (x y)$

Étape 5.4.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' x + y' y x e^{x - y} + y = e^{x - y} (x y)$

Étape 5.4.1.1.2

Remettez dans l’ordre.

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Étape 5.4.1.1.2.1

Déplacez $y$ .

$y' x + y' x y e^{x - y} + y = e^{x - y} (x y)$

Étape 5.4.1.1.2.2

Déplacez $y' x y e^{x - y}$ .

$y' x + y + y' x y e^{x - y} = e^{x - y} (x y)$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x - y} (x y)$ .

$y' x + y + y' x y e^{x - y} = x y e^{x - y}$

Étape 5.5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.5.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$y' x + y' x y e^{x - y} = x y e^{x - y} - y$

Étape 5.5.2

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x + y' x y e^{x - y}$ .

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Étape 5.5.2.1

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x$ .

$y' x \cdot 1 + y' x y e^{x - y} = x y e^{x - y} - y$

Étape 5.5.2.2

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x y e^{x - y}$ .

$y' x \cdot 1 + y' x (y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$

Étape 5.5.2.3

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x \cdot 1 + y' x (y e^{x - y})$ .

$y' x (1 + y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$

Étape 5.5.3

Divisez chaque terme dans $y' x (1 + y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$ par $x (1 + y e^{x - y})$ et simplifiez.

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Étape 5.5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' x (1 + y e^{x - y}) = x y e^{x - y} - y$ par $x (1 + y e^{x - y})$ .

$\frac{y' x (1 + y e^{x - y})}{x (1 + y e^{x - y})} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Étape 5.5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' x (1 + y e^{x - y})}{x (1 + y e^{x - y})} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Étape 5.5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (1 + y e^{x - y})}{1 + y e^{x - y}} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Étape 5.5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $1 + y e^{x - y}$ .

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Étape 5.5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (1 + y e^{x - y})}{1 + y e^{x - y}} = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Étape 5.5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{x y e^{x - y}}{x (1 + y e^{x - y})} + \frac{- y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Étape 5.5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{x y e^{x - y} - y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Étape 5.5.3.3.2

Factorisez $y$ à partir de $x y e^{x - y} - y$ .

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Étape 5.5.3.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y e^{x - y}$ .

$y' = \frac{y (x e^{x - y}) - y}{x (1 + y e^{x - y})}$

Étape 5.5.3.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{y (x e^{x - y}) + y \cdot - 1}{x (1 + y e^{x - y})}$

Étape 5.5.3.3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x e^{x - y}) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (x e^{x - y} - 1)}{x (1 + y e^{x - y})}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x e^{x - y} - 1)}{x (1 + y e^{x - y})}$