Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} - 50 x y = 600$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{2} - 50 x y) = \frac{d}{d x} (600)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} - 50 x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 50 x y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [- 50 x y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 50 x y]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 50 x y]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- 50 x y]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [- 50 x y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- 50 x y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 50$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 50 x y$ par rapport à $x$ est $- 50 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$2 y y' - 50 \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$2 y y' - 50 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y' - 50 (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 y y' - 50 (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.3.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 y y' - 50 (x y' + y)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y y' - 50 (x y') - 50 y$

Étape 2.4.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$2 y y' - 50 x y' - 50 y$

Étape 3

Comme $600$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $600$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' - 50 x y' - 50 y = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $50 y$ aux deux côtés de l’équation.

$2 y y' - 50 x y' = 50 y$

Étape 5.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y y' - 50 x y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y y'$ .

$2 y' y - 50 x y' = 50 y$

Étape 5.2.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $- 50 x y'$ .

$2 y' y + 2 y' (- 25 x) = 50 y$

Étape 5.2.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' y + 2 y' (- 25 x)$ .

$2 y' (y - 25 x) = 50 y$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $2 y' (y - 25 x) = 50 y$ par $2 (y - 25 x)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (y - 25 x) = 50 y$ par $2 (y - 25 x)$ .

$\frac{2 y' (y - 25 x)}{2 (y - 25 x)} = \frac{50 y}{2 (y - 25 x)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y' (y - 25 x)}{2 (y - 25 x)} = \frac{50 y}{2 (y - 25 x)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y - 25 x)}{y - 25 x} = \frac{50 y}{2 (y - 25 x)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $y - 25 x$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y - 25 x)}{y - 25 x} = \frac{50 y}{2 (y - 25 x)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{50 y}{2 (y - 25 x)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun à $50$ et $2$ .

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Étape 5.3.3.1.1

Factorisez $2$ à partir de $50 y$ .

$y' = \frac{2 (25 y)}{2 (y - 25 x)}$

Étape 5.3.3.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (25 y)}{2 (y - 25 x)}$

Étape 5.3.3.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{25 y}{y - 25 x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{25 y}{y - 25 x}$