Calcul infinitésimal Exemples

$3 y^{2} = \frac{5 x - 4}{5 x + 4}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (3 y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{5 x - 4}{5 x + 4})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Comme $3$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $3 y^{2}$ par rapport à $x$ est $3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$3 \frac{d}{d x} [y^{2}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 (2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3

Multipliez $2$ par $3$ .

$6 (y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$6 y y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = 5 x - 4$ et $g (x) = 5 x + 4$ .

$\frac{(5 x + 4) \frac{d}{d x} [5 x - 4] - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x - 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ .

$\frac{(5 x + 4) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(5 x + 4) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(5 x + 4) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{(5 x + 4) (5 + \frac{d}{d x} [- 4]) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 3.2.5

Comme $- 4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(5 x + 4) (5 + 0) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 3.2.6

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.6.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{(5 x + 4) \cdot 5 - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 3.2.6.2

Déplacez $5$ à gauche de $5 x + 4$ .

$\frac{5 \cdot (5 x + 4) - (5 x - 4) \frac{d}{d x} [5 x + 4]}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 3.2.7

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 4$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 3.2.8

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 3.2.9

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 3.2.10

Multipliez $5$ par $1$ .

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (5 + \frac{d}{d x} [4])}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 3.2.11

Comme $4$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $4$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) (5 + 0)}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 3.2.12

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.12.1

Additionnez $5$ et $0$ .

$\frac{5 (5 x + 4) - (5 x - 4) \cdot 5}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 3.2.12.2

Multipliez $5$ par $- 1$ .

$\frac{5 (5 x + 4) - 5 (5 x - 4)}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (5 x) + 5 \cdot 4 - 5 (5 x - 4)}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 (5 x) + 5 \cdot 4 - 5 (5 x) - 5 \cdot - 4}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 3.3.3

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.3.1

Associez les termes opposés dans $5 (5 x) + 5 \cdot 4 - 5 (5 x) - 5 \cdot - 4$ .

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Étape 3.3.3.1.1

Soustrayez $5 (5 x)$ de $5 (5 x)$ .

$\frac{5 \cdot 4 + 0 - 5 \cdot - 4}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 3.3.3.1.2

Additionnez $5 \cdot 4$ et $0$ .

$\frac{5 \cdot 4 - 5 \cdot - 4}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 3.3.3.2

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.3.2.1

Multipliez $5$ par $4$ .

$\frac{20 - 5 \cdot - 4}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 3.3.3.2.2

Multipliez $- 5$ par $- 4$ .

$\frac{20 + 20}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 3.3.3.3

Additionnez $20$ et $20$ .

$\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$6 y y' = \frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $6 y y' = \frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}$ par $6 y$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $6 y y' = \frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}$ par $6 y$ .

$\frac{6 y y'}{6 y} = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 y y'}{6 y} = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}}}{6 y}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = \frac{40}{{(5 x + 4)}^{2}} \cdot \frac{1}{6 y}$

Étape 5.3.2

Associez.

$y' = \frac{40 \cdot 1}{{(5 x + 4)}^{2} (6 y)}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun à $40$ et $6$ .

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $2$ à partir de $40 \cdot 1$ .

$y' = \frac{2 (20 \cdot 1)}{{(5 x + 4)}^{2} (6 y)}$

Étape 5.3.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.3.2.1

Factorisez $2$ à partir de ${(5 x + 4)}^{2} (6 y)$ .

$y' = \frac{2 (20 \cdot 1)}{2 ({(5 x + 4)}^{2} (3 y))}$

Étape 5.3.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (20 \cdot 1)}{2 ({(5 x + 4)}^{2} (3 y))}$

Étape 5.3.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{20 \cdot 1}{{(5 x + 4)}^{2} (3 y)}$

Étape 5.3.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.3.4.1

Multipliez $20$ par $1$ .

$y' = \frac{20}{{(5 x + 4)}^{2} \cdot 3 y}$

Étape 5.3.4.2

Déplacez $3$ à gauche de ${(5 x + 4)}^{2}$ .

$y' = \frac{20}{3 \cdot {(5 x + 4)}^{2} y}$

Étape 5.3.4.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{20}{3 {(5 x + 4)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{20}{3 y {(5 x + 4)}^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{20}{3 y {(5 x + 4)}^{2}}$