Calcul infinitésimal Exemples

$5 x^{2} y - π \cos (y) = 6 π$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (5 x^{2} y - π \cos (y)) = \frac{d}{d x} (6 π)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{2} y - π \cos (y)$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{2} y]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{2} y$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{2} y]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{2} y] + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

$5 (x^{2} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

Étape 2.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5 (x^{2} y' + y \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

Étape 2.2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 (x^{2} y' + y (2 x)) + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

Étape 2.2.5

Déplacez $2$ à gauche de $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) + \frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- π \cos (y)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- π \cos (y)$ par rapport à $x$ est $- π \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - π \frac{d}{d x} [\cos (y)]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - π (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - π (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - π (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y])$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) - π (- \sin (y) y')$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) + 1 π (\sin (y) y')$

Étape 2.3.5

Multipliez $π$ par $1$ .

$5 (x^{2} y' + 2 y x) + π \sin (y) y'$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$5 (x^{2} y') + 5 (2 y x) + π \sin (y) y'$

Étape 2.4.2

Multipliez $2$ par $5$ .

$5 x^{2} y' + 10 y x + π \sin (y) y'$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$5 x^{2} y' + 10 x y + π \sin (y) y'$

Étape 3

Comme $6 π$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 π$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$5 x^{2} y' + 10 x y + π \sin (y) y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $5 x^{2} y' + 10 x y + π \sin (y) y'$ .

$5 x^{2} y' + 10 x y + π y' \sin (y) = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $10 x y$ des deux côtés de l’équation.

$5 x^{2} y' + π y' \sin (y) = - 10 x y$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $5 x^{2} y' + π y' \sin (y)$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $5 x^{2} y'$ .

$y' (5 x^{2}) + π y' \sin (y) = - 10 x y$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $π y' \sin (y)$ .

$y' (5 x^{2}) + y' (π \sin (y)) = - 10 x y$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (5 x^{2}) + y' (π \sin (y))$ .

$y' (5 x^{2} + π \sin (y)) = - 10 x y$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (5 x^{2} + π \sin (y)) = - 10 x y$ par $5 x^{2} + π \sin (y)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (5 x^{2} + π \sin (y)) = - 10 x y$ par $5 x^{2} + π \sin (y)$ .

$\frac{y' (5 x^{2} + π \sin (y))}{5 x^{2} + π \sin (y)} = \frac{- 10 x y}{5 x^{2} + π \sin (y)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $5 x^{2} + π \sin (y)$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (5 x^{2} + π \sin (y))}{5 x^{2} + π \sin (y)} = \frac{- 10 x y}{5 x^{2} + π \sin (y)}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 10 x y}{5 x^{2} + π \sin (y)}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{10 x y}{5 x^{2} + π \sin (y)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{10 x y}{5 x^{2} + π \sin (y)}$