Calcul infinitésimal Exemples

$\sqrt{x^{4} + y^{2}} = 5 x + 2 y^{3}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{x^{4} + y^{2}}$ comme ${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 x + 2 y^{3}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} ({(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = \frac{d}{d x} (5 x + 2 y^{3})$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = x^{4} + y^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $x^{4} + y^{2}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $x^{4} + y^{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Étape 3.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Étape 3.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Étape 3.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Étape 3.5

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Étape 3.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Étape 3.6

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} {(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Étape 3.6.2

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.6.2.1

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Étape 3.6.2.2

Placez ${(x^{4} + y^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{4} + y^{2}]$

Étape 3.6.3

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{4} + y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 3.6.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d x} [y^{2}])$

Étape 3.7

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.7.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + \frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.7.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 u_{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.7.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 y \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.8

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 y y')$

Étape 3.9

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.1

Réorganisez les facteurs de $\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} (4 x^{3} + 2 y y')$ .

$(4 x^{3} + 2 y y') \frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.9.2

Multipliez $4 x^{3} + 2 y y'$ par $\frac{1}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{4 x^{3} + 2 y y'}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.9.3

Factorisez $2$ à partir de $4 x^{3}$ .

$\frac{2 (2 x^{3}) + 2 y y'}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.9.4

Factorisez $2$ à partir de $2 y y'$ .

$\frac{2 (2 x^{3}) + 2 (y y')}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.9.5

Factorisez $2$ à partir de $2 (2 x^{3}) + 2 (y y')$ .

$\frac{2 (2 x^{3} + y y')}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.9.6

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.9.6.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (2 x^{3} + y y')}{2 ({(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 3.9.6.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (2 x^{3} + y y')}{2 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 3.9.6.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x + 2 y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Étape 4.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$5 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Étape 4.2.3

Multipliez $5$ par $1$ .

$5 + \frac{d}{d x} [2 y^{3}]$

Étape 4.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 y^{3}]$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$5 + 2 \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 4.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$5 + 2 (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y])$

Étape 4.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 + 2 (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 4.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$5 + 2 (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y])$

Étape 4.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5 + 2 (3 y^{2} y')$

Étape 4.3.4

Multipliez $3$ par $2$ .

$5 + 6 y^{2} y'$

Étape 4.4

Remettez les termes dans l’ordre.

$6 y^{2} y' + 5$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = 6 y^{2} y' + 5$

Étape 6

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.1

Multipliez les deux côtés par ${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1

Simplifiez $\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1

Annulez le facteur commun de ${(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 x^{3} + y y'}{{(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$2 x^{3} + y y' = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.1.1.2

Remettez dans l’ordre $y$ et $y'$ .

$2 x^{3} + y' y = (6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1

Simplifiez $(6 y^{2} y' + 5) {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.2.2.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 x^{3} + y' y = 6 y^{2} y' {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2.1.2

Déplacez $y^{2}$ .

$2 x^{3} + y' y = 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} + 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.1

Soustrayez $6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$2 x^{3} + y' y - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.2

Soustrayez $2 x^{3}$ des deux côtés de l’équation.

$y' y - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

Étape 6.3.3

Factorisez $y' y$ à partir de $y' y - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.3.1

Factorisez $y' y$ à partir de $y' y$ .

$y' y \cdot 1 - 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

Étape 6.3.3.2

Factorisez $y' y$ à partir de $- 6 y' y^{2} {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

$y' y \cdot 1 + y' y (- 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

Étape 6.3.3.3

Factorisez $y' y$ à partir de $y' y \cdot 1 + y' y (- 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$

Étape 6.3.4

Divisez chaque terme dans $y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$ par $y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.1

Divisez chaque terme dans $y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}) = 5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}$ par $y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})$ .

$\frac{y' y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.2.1

Annulez le facteur commun.

Étape 6.3.4.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}{1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}} = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.4.2.3

Annulez le facteur commun.

Étape 6.3.4.2.4

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})} + \frac{- 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 6.3.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 6.3.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

Étape 7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{5 {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}} - 2 x^{3}}{y (1 - 6 y {(x^{4} + y^{2})}^{\frac{1}{2}})}$