Calcul infinitésimal Exemples

$y = \sqrt{2 x}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{2 x}$ comme ${(2 x)}^{\frac{1}{2}}$ .

$y = {(2 x)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} ({(2 x)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Simplifiez en factorisant.

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Étape 4.1.1

Factorisez $2$ à partir de $2 x$ .

$\frac{d}{d x} [{(2 (x))}^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.1.2

Appliquez la règle de produit à $2 (x)$ .

$\frac{d}{d x} [2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.2

Comme $2^{\frac{1}{2}}$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}$ par rapport à $x$ est $2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$

Étape 4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

Étape 4.4

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

Étape 4.5

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.6

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

Étape 4.7

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.7.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

Étape 4.7.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

Étape 4.8

Placez le signe moins devant la fraction.

$2^{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

Étape 4.9

Associez $\frac{1}{2}$ et $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$2^{\frac{1}{2}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.10

Associez $2^{\frac{1}{2}}$ et $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{2^{\frac{1}{2}} x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Étape 4.11

Simplifiez l’expression.

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Étape 4.11.1

Placez $2^{\frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}}}$

Étape 4.11.2

Placez $x^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.12

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

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Étape 4.12.1

Multipliez $2$ par $2^{- \frac{1}{2}}$ .

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Étape 4.12.1.1

Élevez $2$ à la puissance $1$ .

$\frac{1}{2^{1} \cdot 2^{- \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.12.1.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{1}{2^{1 - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.12.2

Écrivez $1$ comme une fraction avec un dénominateur commun.

$\frac{1}{2^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.12.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2^{\frac{2 - 1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.12.4

Soustrayez $1$ de $2$ .

$\frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{2^{\frac{1}{2}} x^{\frac{1}{2}}}$