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Calcul infinitésimal Exemples
Étape 1
Écrivez comme une fonction.
Étape 2
Étape 2.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2
Évaluez .
Étape 2.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.2.3
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 2.2.4
Associez et .
Étape 2.2.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 2.2.6
Simplifiez le numérateur.
Étape 2.2.6.1
Multipliez par .
Étape 2.2.6.2
Soustrayez de .
Étape 2.2.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 2.2.8
Associez et .
Étape 2.2.9
Associez et .
Étape 2.2.10
Multipliez par .
Étape 2.2.11
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 2.2.12
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.13
Annulez les facteurs communs.
Étape 2.2.13.1
Factorisez à partir de .
Étape 2.2.13.2
Annulez le facteur commun.
Étape 2.2.13.3
Réécrivez l’expression.
Étape 2.3
Évaluez .
Étape 2.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 2.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 2.3.3
Multipliez par .
Étape 3
Étape 3.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.2
Évaluez .
Étape 3.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.2.2
Réécrivez comme .
Étape 3.2.3
Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que est où et .
Étape 3.2.3.1
Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez comme .
Étape 3.2.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.2.3.3
Remplacez toutes les occurrences de par .
Étape 3.2.4
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 3.2.5
Multipliez les exposants dans .
Étape 3.2.5.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 3.2.5.2
Associez et .
Étape 3.2.5.3
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 3.2.6
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 3.2.7
Associez et .
Étape 3.2.8
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 3.2.9
Simplifiez le numérateur.
Étape 3.2.9.1
Multipliez par .
Étape 3.2.9.2
Soustrayez de .
Étape 3.2.10
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 3.2.11
Associez et .
Étape 3.2.12
Associez et .
Étape 3.2.13
Multipliez par en additionnant les exposants.
Étape 3.2.13.1
Utilisez la règle de puissance pour associer des exposants.
Étape 3.2.13.2
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 3.2.13.3
Soustrayez de .
Étape 3.2.13.4
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 3.2.14
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 3.2.15
Multipliez par .
Étape 3.2.16
Associez et .
Étape 3.2.17
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 3.3
Différenciez en utilisant la règle de la constante.
Étape 3.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 3.3.2
Additionnez et .
Étape 4
Pour déterminer les valeurs maximales et minimales locales de la fonction, définissez la dérivée égale à et résolvez.
Étape 5
Étape 5.1
Déterminez la dérivée première.
Étape 5.1.1
Selon la règle de la somme, la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.1.2
Évaluez .
Étape 5.1.2.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.1.2.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 5.1.2.3
Pour écrire comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par .
Étape 5.1.2.4
Associez et .
Étape 5.1.2.5
Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.
Étape 5.1.2.6
Simplifiez le numérateur.
Étape 5.1.2.6.1
Multipliez par .
Étape 5.1.2.6.2
Soustrayez de .
Étape 5.1.2.7
Placez le signe moins devant la fraction.
Étape 5.1.2.8
Associez et .
Étape 5.1.2.9
Associez et .
Étape 5.1.2.10
Multipliez par .
Étape 5.1.2.11
Placez sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif .
Étape 5.1.2.12
Factorisez à partir de .
Étape 5.1.2.13
Annulez les facteurs communs.
Étape 5.1.2.13.1
Factorisez à partir de .
Étape 5.1.2.13.2
Annulez le facteur commun.
Étape 5.1.2.13.3
Réécrivez l’expression.
Étape 5.1.3
Évaluez .
Étape 5.1.3.1
Comme est constant par rapport à , la dérivée de par rapport à est .
Étape 5.1.3.2
Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que est où .
Étape 5.1.3.3
Multipliez par .
Étape 5.2
La dérivée première de par rapport à est .
Étape 6
Étape 6.1
Définissez la dérivée première égale à .
Étape 6.2
Ajoutez aux deux côtés de l’équation.
Étape 6.3
Déterminez le plus petit dénominateur commun des termes dans l’équation.
Étape 6.3.1
Déterminer le plus petit dénominateur commun d’une liste d’expressions équivaut à déterminer le plus petit multiple commun des dénominateurs de ces valeurs.
Étape 6.3.2
Le plus petit multiple commun de toute expression est l’expression.
Étape 6.4
Multiplier chaque terme dans par afin d’éliminer les fractions.
Étape 6.4.1
Multipliez chaque terme dans par .
Étape 6.4.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 6.4.2.1
Annulez le facteur commun de .
Étape 6.4.2.1.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.4.2.1.2
Réécrivez l’expression.
Étape 6.5
Résolvez l’équation.
Étape 6.5.1
Réécrivez l’équation comme .
Étape 6.5.2
Divisez chaque terme dans par et simplifiez.
Étape 6.5.2.1
Divisez chaque terme dans par .
Étape 6.5.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 6.5.2.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.5.2.2.2
Divisez par .
Étape 6.5.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 6.5.2.3.1
Divisez par .
Étape 6.5.3
Élevez chaque côté de l’équation à la puissance pour éliminer l’exposant fractionnel du côté gauche.
Étape 6.5.4
Simplifiez l’exposant.
Étape 6.5.4.1
Simplifiez le côté gauche.
Étape 6.5.4.1.1
Simplifiez .
Étape 6.5.4.1.1.1
Multipliez les exposants dans .
Étape 6.5.4.1.1.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 6.5.4.1.1.1.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 6.5.4.1.1.1.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 6.5.4.1.1.1.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 6.5.4.1.1.2
Simplifiez
Étape 6.5.4.2
Simplifiez le côté droit.
Étape 6.5.4.2.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 7
Étape 7.1
Convertissez des expressions avec exposants fractionnaires en radicaux.
Étape 7.1.1
Appliquez la règle pour réécrire l’élévation à la puissance comme un radical.
Étape 7.1.2
Toute valeur élevée à est la base elle-même.
Étape 7.2
Définissez le dénominateur dans égal à pour déterminer où l’expression est indéfinie.
Étape 7.3
Résolvez .
Étape 7.3.1
Pour retirer le radical du côté gauche de l’équation, élevez au cube les deux côtés de l’équation.
Étape 7.3.2
Simplifiez chaque côté de l’équation.
Étape 7.3.2.1
Utilisez pour réécrire comme .
Étape 7.3.2.2
Simplifiez le côté gauche.
Étape 7.3.2.2.1
Simplifiez .
Étape 7.3.2.2.1.1
Multipliez les exposants dans .
Étape 7.3.2.2.1.1.1
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 7.3.2.2.1.1.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 7.3.2.2.1.1.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 7.3.2.2.1.1.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 7.3.2.2.1.2
Simplifiez
Étape 7.3.2.3
Simplifiez le côté droit.
Étape 7.3.2.3.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 8
Points critiques à évaluer.
Étape 9
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 10
Étape 10.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 10.2
Multipliez par .
Étape 11
est un maximum local car la valeur de la dérivée seconde est négative. On parle de test de la dérivée seconde.
est un maximum local
Étape 12
Étape 12.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 12.2
Simplifiez le résultat.
Étape 12.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 12.2.1.1
Un à n’importe quelle puissance est égal à un.
Étape 12.2.1.2
Multipliez par .
Étape 12.2.1.3
Multipliez par .
Étape 12.2.2
Soustrayez de .
Étape 12.2.3
La réponse finale est .
Étape 13
Évaluez la dérivée seconde sur . Si la dérivée seconde est positive, il s’agit d’un minimum local. Si elle est négative, il s’agit d’un maximum local.
Étape 14
Étape 14.1
Simplifiez l’expression.
Étape 14.1.1
Réécrivez comme .
Étape 14.1.2
Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, .
Étape 14.2
Annulez le facteur commun de .
Étape 14.2.1
Annulez le facteur commun.
Étape 14.2.2
Réécrivez l’expression.
Étape 14.3
Simplifiez l’expression.
Étape 14.3.1
L’élévation de à toute puissance positive produit .
Étape 14.3.2
Multipliez par .
Étape 14.3.3
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Étape 14.4
L’expression contient une division par . L’expression est indéfinie.
Indéfini
Indéfini
Étape 15
Étape 15.1
Divisez en intervalles distincts autour des valeurs qui rendent la dérivée première ou indéfinie.
Étape 15.2
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Étape 15.2.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 15.2.2
La réponse finale est .
Étape 15.3
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Étape 15.3.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 15.3.2
Simplifiez le résultat.
Étape 15.3.2.1
Simplifiez chaque terme.
Étape 15.3.2.1.1
Élevez à la puissance .
Étape 15.3.2.1.2
Divisez par .
Étape 15.3.2.2
Soustrayez de .
Étape 15.3.2.3
La réponse finale est .
Étape 15.4
Remplacez tout nombre, tel que , de l’intervalle dans la dérivée première pour vérifier si le résultat est négatif ou positif.
Étape 15.4.1
Remplacez la variable par dans l’expression.
Étape 15.4.2
Simplifiez le résultat.
Étape 15.4.2.1
Supprimez les parenthèses.
Étape 15.4.2.2
La réponse finale est .
Étape 15.5
Comme la dérivée première a changé de signe de négative à positive autour de , est un minimum local.
est un minimum local
Étape 15.6
Comme la dérivée première a changé de signe de positive à négative autour de , est un maximum local.
est un maximum local
Étape 15.7
Ce sont les extrema locaux pour .
est un minimum local
est un maximum local
est un minimum local
est un maximum local
Étape 16