Calcul infinitésimal Exemples

$y = \arctan (e^{x^{4}})$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (\arctan (e^{x^{4}}))$

Étape 2

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \arctan (x)$ et $g (x) = e^{x^{4}}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $e^{x^{4}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [\arctan (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Étape 3.1.2

La dérivée de $\arctan (u_{1})$ par rapport à $u_{1}$ est $\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + {u_{1}}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $e^{x^{4}}$ .

$\frac{1}{1 + {(e^{x^{4}})}^{2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Étape 3.2

Multipliez les exposants dans ${(e^{x^{4}})}^{2}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Appliquez la règle de puissance et multipliez les exposants, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{1 + e^{x^{4} \cdot 2}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Étape 3.2.2

Déplacez $2$ à gauche de $x^{4}$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} \frac{d}{d x} [e^{x^{4}}]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x^{4}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $x^{4}$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ est $a^{u_{2}} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $x^{4}$ .

$\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}} (e^{x^{4}} \frac{d}{d x} [x^{4}])$

Étape 3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.1

Associez $e^{x^{4}}$ et $\frac{1}{1 + e^{2 x^{4}}}$ .

$\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 3.4.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} (4 x^{3})$

Étape 3.4.3

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.4.3.1

Associez $4$ et $\frac{e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ .

$\frac{4 e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}} x^{3}$

Étape 3.4.3.2

Associez $\frac{4 e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ et $x^{3}$ .

$\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Étape 3.5

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.5.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $4 e^{x^{4}} x^{3}$ .

$\frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Étape 3.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Étape 3.5.3

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{4 e^{x^{4}} x^{3}}{1 + e^{2 x^{4}}}$ .

$\frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = \frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$

Étape 5

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{4 x^{3} e^{x^{4}}}{1 + e^{2 x^{4}}}$