Calcul infinitésimal Exemples

$u = v^{2} \sqrt{10 v - 9}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{10 u' - 9}$ comme ${(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$u = {u'}^{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d u'} u = \frac{d}{d u'} ({u'}^{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

La dérivée de $u$ par rapport à $u'$ est $u'$ .

$u'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d v} [f (u') g (u')]$ est $f (u') \frac{d}{d v} [g (u')] + g (u') \frac{d}{d v} [f (u')]$ où $f (u') = {u'}^{2}$ et $g (u') = {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} \frac{d}{d v} [{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}] + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d v} [f (g (u'))]$ est $f' (g (u')) g' (u')$ où $f (u') = {u'}^{\frac{1}{2}}$ et $g (u') = 10 u' - 9$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $10 u' - 9$ .

${u'}^{2} (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $10 u' - 9$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.3

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.4

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.6

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.6.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.6.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(10 u' - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.7

Associez les fractions.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.7.1

Placez le signe moins devant la fraction.

${u'}^{2} (\frac{1}{2} {(10 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.7.2

Associez $\frac{1}{2}$ et ${(10 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

${u'}^{2} (\frac{{(10 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.7.3

Placez ${(10 u' - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

${u'}^{2} (\frac{1}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.7.4

Associez $\frac{1}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et ${u'}^{2}$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d v} [10 u' - 9] + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.8

Selon la règle de la somme, la dérivée de $10 u' - 9$ par rapport à $u'$ est $\frac{d}{d v} [10 u'] + \frac{d}{d v} [- 9]$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d v} [10 u'] + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.9

Comme $10$ est constant par rapport à $u'$ , la dérivée de $10 u'$ par rapport à $u'$ est $10 \frac{d}{d v} [u']$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 \frac{d}{d v} [u'] + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.10

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ est $n {u'}^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 \cdot 1 + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.11

Multipliez $10$ par $1$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 + \frac{d}{d v} [- 9]) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.12

Comme $- 9$ est constant par rapport à $u'$ , la dérivée de $- 9$ par rapport à $u'$ est $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} (10 + 0) + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.13

Simplifiez les termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.13.1

Additionnez $10$ et $0$ .

$\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 10 + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.13.2

Associez $\frac{{u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $10$ .

$\frac{{u'}^{2} \cdot 10}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.13.3

Déplacez $10$ à gauche de ${u'}^{2}$ .

$\frac{10 \cdot {u'}^{2}}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.13.4

Factorisez $2$ à partir de $10 {u'}^{2}$ .

$\frac{2 (5 {u'}^{2})}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.14

Annulez les facteurs communs.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.14.1

Factorisez $2$ à partir de $2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (5 {u'}^{2})}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.14.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 (5 {u'}^{2})}{2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.14.3

Réécrivez l’expression.

$\frac{5 {u'}^{2}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d v} [{u'}^{2}]$

Étape 4.15

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d v} [{u'}^{n}]$ est $n {u'}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$\frac{5 {u'}^{2}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} (2 u')$

Étape 4.16

Déplacez $2$ à gauche de ${(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 {u'}^{2}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \cdot {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} u'$

Étape 4.17

Associez $\frac{5 {u'}^{2}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ et $2 {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} u'$ en utilisant un dénominateur commun.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.17.1

Déplacez ${(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 {u'}^{2}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + 2 u' {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$

Étape 4.17.2

Pour écrire $2 u' {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{5 {u'}^{2}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 u' {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.17.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18

Multipliez ${(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ par ${(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.18.1

Déplacez ${(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' ({(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}} {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}})}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18.2

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' {(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18.3

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' {(10 u' - 9)}^{\frac{1 + 1}{2}}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' {(10 u' - 9)}^{\frac{2}{2}}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.18.5

Divisez $2$ par $2$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' {(10 u' - 9)}^{1}}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.19

Simplifiez $2 u' {(10 u' - 9)}^{1}$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' (10 u' - 9)}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.20.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 u' (10 u') + 2 u' \cdot - 9}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.2

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.20.2.1

Simplifiez chaque terme.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.20.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 \cdot 10 u' u' + 2 u' \cdot - 9}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.2.1.2

Multipliez $u'$ par $u'$ en additionnant les exposants.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.20.2.1.2.1

Déplacez $u'$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 \cdot 10 (u' u') + 2 u' \cdot - 9}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.2.1.2.2

Multipliez $u'$ par $u'$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 2 \cdot 10 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 9}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.2.1.3

Multipliez $2$ par $10$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 20 {u'}^{2} + 2 u' \cdot - 9}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.2.1.4

Multipliez $- 9$ par $2$ .

$\frac{5 {u'}^{2} + 20 {u'}^{2} - 18 u'}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.2.2

Additionnez $5 {u'}^{2}$ et $20 {u'}^{2}$ .

$\frac{25 {u'}^{2} - 18 u'}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.3

Factorisez $u'$ à partir de $25 {u'}^{2} - 18 u'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 4.20.3.1

Factorisez $u'$ à partir de $25 {u'}^{2}$ .

$\frac{u' (25 u') - 18 u'}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.3.2

Factorisez $u'$ à partir de $- 18 u'$ .

$\frac{u' (25 u') + u' \cdot - 18}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 4.20.3.3

Factorisez $u'$ à partir de $u' (25 u') + u' \cdot - 18$ .

$\frac{u' (25 u' - 18)}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$u' = \frac{u' (25 u' - 18)}{{(10 u' - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Représentez chaque côté de l’équation. La solution est la valeur x du point d’intersection.

Aucune solution

Étape 7

Remplacez $u'$ par $\frac{d u}{d v}$ .

$\frac{d u}{d v}$