Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{2} + x + x y = 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (2 x^{2} + x + x y) = \frac{d}{d x} (1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x^{2} + x + x y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{2}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 (2 x) + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 x + \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x + 1 + \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.4

Évaluez $\frac{d}{d x} [x y]$ .

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Étape 2.4.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$4 x + 1 + x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$4 x + 1 + x y' + y \frac{d}{d x} [x]$

Étape 2.4.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$4 x + 1 + x y' + y \cdot 1$

Étape 2.4.4

Multipliez $y$ par $1$ .

$4 x + 1 + x y' + y$

Étape 2.5

Remettez les termes dans l’ordre.

$x y' + 4 x + y + 1$

Étape 3

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x y' + 4 x + y + 1 = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.1.1

Soustrayez $4 x$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + y + 1 = - 4 x$

Étape 5.1.2

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x y' + 1 = - 4 x - y$

Étape 5.1.3

Soustrayez $1$ des deux côtés de l’équation.

$x y' = - 4 x - y - 1$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $x y' = - 4 x - y - 1$ par $x$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $x y' = - 4 x - y - 1$ par $x$ .

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 4 x}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y'}{x} = \frac{- 4 x}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x}$

Étape 5.2.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 4 x}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.2.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{- 4 x}{x} + \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x}$

Étape 5.2.3.1.1.2

Divisez $- 4$ par $1$ .

$y' = - 4 + \frac{- y}{x} + \frac{- 1}{x}$

Étape 5.2.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - 4 - \frac{y}{x} + \frac{- 1}{x}$

Étape 5.2.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - 4 - \frac{y}{x} - \frac{1}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - 4 - \frac{y}{x} - \frac{1}{x}$