Calcul infinitésimal Exemples

$w = \frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d w} (w) = \frac{d}{d w} (\frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3})$

Étape 2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d w} [w^{n}]$ est $n w^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\frac{2}{3} - \frac{y^{2}}{5} + \frac{4 y^{2}}{3}$ par rapport à $w$ est $\frac{d}{d w} [\frac{2}{3}] + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$ .

$\frac{d}{d w} [\frac{2}{3}] + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Étape 3.1.2

Comme $\frac{2}{3}$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $\frac{2}{3}$ par rapport à $w$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d w} [- \frac{y^{2}}{5}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $- \frac{1}{5}$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $- \frac{y^{2}}{5}$ par rapport à $w$ est $- \frac{1}{5} \frac{d}{d w} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{1}{5} \frac{d}{d w} [y^{2}] + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ est $f' (g (w)) g' (w)$ où $f (w) = w^{2}$ et $g (w) = y$ .

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Étape 3.2.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$0 - \frac{1}{5} (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Étape 3.2.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 u_{1} \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Étape 3.2.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 y \frac{d}{d w} [y]) + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Étape 3.2.3

Réécrivez $\frac{d}{d w} [y]$ comme $y'$ .

$0 - \frac{1}{5} (2 y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Étape 3.2.4

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$0 - 2 (\frac{1}{5}) (y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Étape 3.2.5

Associez $- 2$ et $\frac{1}{5}$ .

$0 + \frac{- 2}{5} (y y') + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Étape 3.2.6

Associez $y$ et $\frac{- 2}{5}$ .

$0 + \frac{y \cdot - 2}{5} y' + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Étape 3.2.7

Associez $\frac{y \cdot - 2}{5}$ et $y'$ .

$0 + \frac{y \cdot - 2 y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Étape 3.2.8

Déplacez $- 2$ à gauche de $y$ .

$0 + \frac{- 2 \cdot y y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Étape 3.2.9

Placez le signe moins devant la fraction.

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d w} [\frac{4 y^{2}}{3}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $\frac{4}{3}$ est constant par rapport à $w$ , la dérivée de $\frac{4 y^{2}}{3}$ par rapport à $w$ est $\frac{4}{3} \frac{d}{d w} [y^{2}]$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} \frac{d}{d w} [y^{2}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d w} [f (g (w))]$ est $f' (g (w)) g' (w)$ où $f (w) = w^{2}$ et $g (w) = y$ .

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Étape 3.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d w} [y])$

Étape 3.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 u_{2} \frac{d}{d w} [y])$

Étape 3.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 y \frac{d}{d w} [y])$

Étape 3.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d w} [y]$ comme $y'$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{4}{3} (2 y y')$

Étape 3.3.4

Associez $2$ et $\frac{4}{3}$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{2 \cdot 4}{3} (y y')$

Étape 3.3.5

Multipliez $2$ par $4$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{8}{3} (y y')$

Étape 3.3.6

Associez $y$ et $\frac{8}{3}$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{y \cdot 8}{3} y'$

Étape 3.3.7

Associez $\frac{y \cdot 8}{3}$ et $y'$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{y \cdot 8 y'}{3}$

Étape 3.3.8

Déplacez $8$ à gauche de $y$ .

$0 - \frac{2 y y'}{5} + \frac{8 y y'}{3}$

Étape 3.4

Associez des termes.

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Étape 3.4.1

Soustrayez $\frac{2 y y'}{5}$ de $0$ .

$- \frac{2 y y'}{5} + \frac{8 y y'}{3}$

Étape 3.4.2

Pour écrire $- \frac{2 y y'}{5}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 y y'}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 y y'}{3}$

Étape 3.4.3

Pour écrire $\frac{8 y y'}{3}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 y y'}{5} \cdot \frac{3}{3} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 3.4.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $15$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 3.4.4.1

Multipliez $\frac{2 y y'}{5}$ par $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 3.4.4.2

Multipliez $5$ par $3$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y'}{3} \cdot \frac{5}{5}$

Étape 3.4.4.3

Multipliez $\frac{8 y y'}{3}$ par $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y' \cdot 5}{3 \cdot 5}$

Étape 3.4.4.4

Multipliez $3$ par $5$ .

$- \frac{2 y y' \cdot 3}{15} + \frac{8 y y' \cdot 5}{15}$

Étape 3.4.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{- 2 y y' \cdot 3 + 8 y y' \cdot 5}{15}$

Étape 3.4.6

Multipliez $3$ par $- 2$ .

$\frac{- 6 y y' + 8 y y' \cdot 5}{15}$

Étape 3.4.7

Multipliez $5$ par $8$ .

$\frac{- 6 y y' + 40 y y'}{15}$

Étape 3.4.8

Additionnez $- 6 y y'$ et $40 y y'$ .

$\frac{34 y y'}{15}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$1 = \frac{34 y y'}{15}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $\frac{34 y y'}{15} = 1$ .

$\frac{34 y y'}{15} = 1$

Étape 5.2

Multipliez les deux côtés de l’équation par $\frac{15}{34}$ .

$\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15} = \frac{15}{34} \cdot 1$

Étape 5.3

Simplifiez les deux côtés de l’équation.

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Étape 5.3.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.1.1

Simplifiez $\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15}$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Annulez le facteur commun de $15$ .

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Étape 5.3.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{15}{34} \cdot \frac{34 y y'}{15} = \frac{15}{34} \cdot 1$

Étape 5.3.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{1}{34} (34 y y') = \frac{15}{34} \cdot 1$

Étape 5.3.1.1.2

Annulez le facteur commun de $34$ .

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Étape 5.3.1.1.2.1

Factorisez $34$ à partir de $34 y y'$ .

$\frac{1}{34} (34 (y y')) = \frac{15}{34} \cdot 1$

Étape 5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$\frac{1}{34} (34 (y y')) = \frac{15}{34} \cdot 1$

Étape 5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y y' = \frac{15}{34} \cdot 1$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.2.1

Multipliez $\frac{15}{34}$ par $1$ .

$y y' = \frac{15}{34}$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y y' = \frac{15}{34}$ par $y$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y y' = \frac{15}{34}$ par $y$ .

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\frac{15}{34}}{y}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = \frac{15}{34} \cdot \frac{1}{y}$

Étape 5.4.3.2

Multipliez $\frac{15}{34}$ par $\frac{1}{y}$ .

$y' = \frac{15}{34 y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d w}$ .

$\frac{d y}{d w} = \frac{15}{34 y}$