Calcul infinitésimal Exemples

$2 x^{3} = {(3 x y + 1)}^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (2 x^{3}) = \frac{d}{d x} ({(3 x y + 1)}^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x^{3}$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$2 (3 x^{2})$

Étape 2.3

Multipliez $3$ par $2$ .

$6 x^{2}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Réécrivez ${(3 x y + 1)}^{2}$ comme $(3 x y + 1) (3 x y + 1)$ .

$\frac{d}{d x} [(3 x y + 1) (3 x y + 1)]$

Étape 3.2

Développez $(3 x y + 1) (3 x y + 1)$ à l’aide de la méthode FOIL.

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Étape 3.2.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y + 1) + 1 (3 x y + 1)]$

Étape 3.2.2

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y) + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y + 1)]$

Étape 3.2.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{d}{d x} [3 x y (3 x y) + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Étape 3.3

Simplifiez et associez les termes similaires.

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Étape 3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 3.3.1.1

Multipliez $x$ par $x$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.1.1

Déplacez $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 (x \cdot x) y (3 y) + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Étape 3.3.1.1.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y (3 y) + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Étape 3.3.1.2

Multipliez $y$ par $y$ en additionnant les exposants.

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Étape 3.3.1.2.1

Déplacez $y$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} (y \cdot y) \cdot 3 + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Étape 3.3.1.2.2

Multipliez $y$ par $y$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} y^{2} \cdot 3 + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Étape 3.3.1.3

Multipliez $3$ par $3$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 3 x y \cdot 1 + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Étape 3.3.1.4

Multipliez $3$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 3 x y + 1 (3 x y) + 1 \cdot 1]$

Étape 3.3.1.5

Multipliez $3 x y$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 3 x y + 3 x y + 1 \cdot 1]$

Étape 3.3.1.6

Multipliez $1$ par $1$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 3 x y + 3 x y + 1]$

Étape 3.3.2

Additionnez $3 x y$ et $3 x y$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2} + 6 x y + 1]$

Étape 3.4

Différenciez.

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Étape 3.4.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $9 x^{2} y^{2} + 6 x y + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.4.2

Comme $9$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $9 x^{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $9 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}] + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$9 (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.6

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.6.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$9 (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.6.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.6.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$9 (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.7

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$9 (2 \cdot x^{2} y \frac{d}{d x} [y] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.8

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$9 (2 x^{2} y y' + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.9

Différenciez.

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Étape 3.9.1

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$9 (2 x^{2} y y' + y^{2} (2 x)) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.9.2

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 \cdot y^{2} x) + \frac{d}{d x} [6 x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.9.3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6 x y$ par rapport à $x$ est $6 \frac{d}{d x} [x y]$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 \frac{d}{d x} [x y] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.10

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.11

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.12

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y \cdot 1) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.13

Multipliez $y$ par $1$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y) + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.14

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y) + 0$

Étape 3.15

Additionnez $9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y)$ et $0$ .

$9 (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x) + 6 (x y' + y)$

Étape 3.16

Simplifiez

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Étape 3.16.1

Appliquez la propriété distributive.

$9 (2 x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 6 (x y' + y)$

Étape 3.16.2

Appliquez la propriété distributive.

$9 (2 x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 6 (x y') + 6 y$

Étape 3.16.3

Associez des termes.

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Étape 3.16.3.1

Multipliez $2$ par $9$ .

$18 (x^{2} y y') + 9 (2 y^{2} x) + 6 (x y') + 6 y$

Étape 3.16.3.2

Multipliez $2$ par $9$ .

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 6 x y' + 6 y$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$6 x^{2} = 18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 6 x y' + 6 y$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Réécrivez l’équation comme $18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 6 x y' + 6 y = 6 x^{2}$ .

$18 x^{2} y y' + 18 y^{2} x + 6 x y' + 6 y = 6 x^{2}$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $18 y^{2} x$ des deux côtés de l’équation.

$18 x^{2} y y' + 6 x y' + 6 y = 6 x^{2} - 18 y^{2} x$

Étape 5.2.2

Soustrayez $6 y$ des deux côtés de l’équation.

$18 x^{2} y y' + 6 x y' = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$

Étape 5.3

Factorisez $6 x y'$ à partir de $18 x^{2} y y' + 6 x y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $6 x y'$ à partir de $18 x^{2} y y'$ .

$6 x y' (3 x y) + 6 x y' = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$

Étape 5.3.2

Factorisez $6 x y'$ à partir de $6 x y'$ .

$6 x y' (3 x y) + 6 x y' \cdot 1 = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$

Étape 5.3.3

Factorisez $6 x y'$ à partir de $6 x y' (3 x y) + 6 x y' \cdot 1$ .

$6 x y' (3 x y + 1) = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $6 x y' (3 x y + 1) = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$ par $6 x (3 x y + 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $6 x y' (3 x y + 1) = 6 x^{2} - 18 y^{2} x - 6 y$ par $6 x (3 x y + 1)$ .

$\frac{6 x y' (3 x y + 1)}{6 x (3 x y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{6 x y' (3 x y + 1)}{6 x (3 x y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{x y' (3 x y + 1)}{x (3 x y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' (3 x y + 1)}{x (3 x y + 1)} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (3 x y + 1)}{3 x y + 1} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.2.3

Annulez le facteur commun de $3 x y + 1$ .

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Étape 5.4.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (3 x y + 1)}{3 x y + 1} = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.4.3.1.1

Annulez le facteur commun de $6$ .

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Étape 5.4.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{6 x^{2}}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x^{2}}{x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.3.1.2

Annulez le facteur commun à $x^{2}$ et $x$ .

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Étape 5.4.3.1.2.1

Factorisez $x$ à partir de $x^{2}$ .

$y' = \frac{x \cdot x}{x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x \cdot x}{x (3 x y + 1)} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.3.1.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{- 18 y^{2} x}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 18$ et $6$ .

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Étape 5.4.3.1.3.1

Factorisez $6$ à partir de $- 18 y^{2} x$ .

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.3.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x (3 x y + 1)$ .

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 (x (3 x y + 1))} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{6 (- 3 y^{2} x)}{6 (x (3 x y + 1))} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{- 3 y^{2} x}{x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.3.1.4

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.4.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{- 3 y^{2} x}{x (3 x y + 1)} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} + \frac{- 3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{- 6 y}{6 x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.3.1.6

Annulez le facteur commun à $- 6$ et $6$ .

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Étape 5.4.3.1.6.1

Factorisez $6$ à partir de $- 6 y$ .

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{6 (- y)}{6 x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.3.1.6.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.4.3.1.6.2.1

Factorisez $6$ à partir de $6 x (3 x y + 1)$ .

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{6 (- y)}{6 (x (3 x y + 1))}$

Étape 5.4.3.1.6.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{6 (- y)}{6 (x (3 x y + 1))}$

Étape 5.4.3.1.6.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} + \frac{- y}{x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.3.1.7

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{x}{3 x y + 1} - \frac{3 y^{2}}{3 x y + 1} - \frac{y}{x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.3.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{x - 3 y^{2}}{3 x y + 1} - \frac{y}{x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.3.3

Pour écrire $\frac{x - 3 y^{2}}{3 x y + 1}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{x - 3 y^{2}}{3 x y + 1} \cdot \frac{x}{x} - \frac{y}{x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.3.4

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $(3 x y + 1) x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

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Étape 5.4.3.4.1

Multipliez $\frac{x - 3 y^{2}}{3 x y + 1}$ par $\frac{x}{x}$ .

$y' = \frac{(x - 3 y^{2}) x}{(3 x y + 1) x} - \frac{y}{x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.3.4.2

Réorganisez les facteurs de $(3 x y + 1) x$ .

$y' = \frac{(x - 3 y^{2}) x}{x (3 x y + 1)} - \frac{y}{x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.3.5

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{(x - 3 y^{2}) x - y}{x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.3.6

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.4.3.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' = \frac{x \cdot x - 3 y^{2} x - y}{x (3 x y + 1)}$

Étape 5.4.3.6.2

Multipliez $x$ par $x$ .

$y' = \frac{x^{2} - 3 y^{2} x - y}{x (3 x y + 1)}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{x^{2} - 3 y^{2} x - y}{x (3 x y + 1)}$