Calcul infinitésimal Exemples

$\cos (x y) = x$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\cos (x y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$- \sin (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$- \sin (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$- \sin (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$- \sin (x y) (x y' + y)$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$- \sin (x y) (x y') - \sin (x y) y$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$

Étape 3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- x \sin (x y) y' - y \sin (x y) = 1$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $- x \sin (x y) y' - y \sin (x y)$ .

$- x y' \sin (x y) - y \sin (x y) = 1$

Étape 5.2

Ajoutez $y \sin (x y)$ aux deux côtés de l’équation.

$- x y' \sin (x y) = 1 + y \sin (x y)$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $- x y' \sin (x y) = 1 + y \sin (x y)$ par $- x \sin (x y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $- x y' \sin (x y) = 1 + y \sin (x y)$ par $- x \sin (x y)$ .

$\frac{- x y' \sin (x y)}{- x \sin (x y)} = \frac{1}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

La division de deux valeurs négatives produit une valeur positive.

$\frac{x y' \sin (x y)}{x \sin (x y)} = \frac{1}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' \sin (x y)}{x \sin (x y)} = \frac{1}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{1}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Étape 5.3.2.3

Annulez le facteur commun de $\sin (x y)$ .

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Étape 5.3.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \sin (x y)}{\sin (x y)} = \frac{1}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Étape 5.3.2.3.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{1}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Annulez le facteur commun à $1$ et $- 1$ .

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Étape 5.3.3.1.1.1

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{- 1 (- 1)}{- x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Étape 5.3.3.1.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{1}{x \sin (x y)} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Étape 5.3.3.1.2

Séparez les fractions.

$y' = - (\frac{1}{x} \cdot \frac{1}{\sin (x y)}) + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Étape 5.3.3.1.3

Convertissez de $\frac{1}{\sin (x y)}$ à $\csc (x y)$ .

$y' = - (\frac{1}{x} \csc (x y)) + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Étape 5.3.3.1.4

Associez $\frac{1}{x}$ et $\csc (x y)$ .

$y' = - \frac{\csc (x y)}{x} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Étape 5.3.3.1.5

Annulez le facteur commun de $\sin (x y)$ .

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Étape 5.3.3.1.5.1

Annulez le facteur commun.

$y' = - \frac{\csc (x y)}{x} + \frac{y \sin (x y)}{- x \sin (x y)}$

Étape 5.3.3.1.5.2

Réécrivez l’expression.

$y' = - \frac{\csc (x y)}{x} + \frac{y}{- x}$

Étape 5.3.3.1.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{\csc (x y)}{x} - \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{\csc (x y)}{x} - \frac{y}{x}$