Calcul infinitésimal Exemples

$y - x^{2} y^{2} = 6$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y - x^{2} y^{2}) = \frac{d}{d x} (6)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y - x^{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y' + \frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2} y^{2}]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2} y^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$ .

$y' - \frac{d}{d x} [x^{2} y^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{2}$ .

$y' - (x^{2} \frac{d}{d x} [y^{2}] + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.3

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.3.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$y' - (x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y' - (x^{2} (2 u \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.3.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$y' - (x^{2} (2 y \frac{d}{d x} [y]) + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$y' - (x^{2} (2 y y') + y^{2} \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Étape 2.3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$y' - (x^{2} (2 y y') + y^{2} (2 x))$

Étape 2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $x^{2}$ .

$y' - (2 \cdot x^{2} y y' + y^{2} (2 x))$

Étape 2.3.7

Déplacez $2$ à gauche de $y^{2}$ .

$y' - (2 x^{2} y y' + 2 y^{2} x)$

Étape 2.4

Simplifiez

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Étape 2.4.1

Appliquez la propriété distributive.

$y' - (2 x^{2} y y') - (2 y^{2} x)$

Étape 2.4.2

Associez des termes.

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Étape 2.4.2.1

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y' - 2 (x^{2} y y') - (2 y^{2} x)$

Étape 2.4.2.2

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$y' - 2 x^{2} y y' - 2 y^{2} x$

Étape 2.4.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$- 2 x^{2} y y' - 2 y^{2} x + y'$

Étape 3

Comme $6$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $6$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$- 2 x^{2} y y' - 2 y^{2} x + y' = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Ajoutez $2 y^{2} x$ aux deux côtés de l’équation.

$- 2 x^{2} y y' + y' = 2 y^{2} x$

Étape 5.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 x^{2} y y' + y'$ .

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Étape 5.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $- 2 x^{2} y y'$ .

$y' (- 2 x^{2} y) + y' = 2 y^{2} x$

Étape 5.2.2

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$y' (- 2 x^{2} y) + y' = 2 y^{2} x$

Étape 5.2.3

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' (- 2 x^{2} y) + y' \cdot 1 = 2 y^{2} x$

Étape 5.2.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (- 2 x^{2} y) + y' \cdot 1$ .

$y' (- 2 x^{2} y + 1) = 2 y^{2} x$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' (- 2 x^{2} y + 1) = 2 y^{2} x$ par $- 2 x^{2} y + 1$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (- 2 x^{2} y + 1) = 2 y^{2} x$ par $- 2 x^{2} y + 1$ .

$\frac{y' (- 2 x^{2} y + 1)}{- 2 x^{2} y + 1} = \frac{2 y^{2} x}{- 2 x^{2} y + 1}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $- 2 x^{2} y + 1$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (- 2 x^{2} y + 1)}{- 2 x^{2} y + 1} = \frac{2 y^{2} x}{- 2 x^{2} y + 1}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- 2 x^{2} y + 1}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Factorisez $- 1$ à partir de $- 2 x^{2} y$ .

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- (2 x^{2} y) + 1}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez $1$ comme $- 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- (2 x^{2} y) - 1 (- 1)}$

Étape 5.3.3.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- (2 x^{2} y) - 1 (- 1)$ .

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- (2 x^{2} y - 1)}$

Étape 5.3.3.4

Réécrivez les nombres négatifs.

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Étape 5.3.3.4.1

Réécrivez $- (2 x^{2} y - 1)$ comme $- 1 (2 x^{2} y - 1)$ .

$y' = \frac{2 y^{2} x}{- 1 (2 x^{2} y - 1)}$

Étape 5.3.3.4.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{2} x}{2 x^{2} y - 1}$