Calcul infinitésimal Exemples

$\sum_{i = 0}^{5} 5^{i}$

Étape 1

La somme d’une série géométrique finie peut être déterminée en utilisant la formule $a (\frac{1 - r^{n}}{1 - r})$ où $a$ est le premier terme et $r$ est le rapport entre des termes successifs.

Étape 2

Déterminez le rapport de termes successifs en insérant dans la formule $r = \frac{a_{i + 1}}{a_{i}}$ et en simplifiant.

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Étape 2.1

Remplacez $a_{i}$ et $a_{i + 1}$ dans la formule pour $r$ .

$r = \frac{5^{i + 1}}{5^{i}}$

Étape 2.2

Annulez le facteur commun à $5^{i + 1}$ et $5^{i}$ .

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Étape 2.2.1

Factorisez $5^{i}$ à partir de $5^{i + 1}$ .

$r = \frac{5^{i} \cdot 5}{5^{i}}$

Étape 2.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 2.2.2.1

Multipliez par $1$ .

$r = \frac{5^{i} \cdot 5}{5^{i} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$r = \frac{5^{i} \cdot 5}{5^{i} \cdot 1}$

Étape 2.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$r = \frac{5}{1}$

Étape 2.2.2.4

Divisez $5$ par $1$ .

$r = 5$

Étape 3

Déterminez les premiers termes de la série en remplaçant dans la borne inférieure et en simplifiant.

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Étape 3.1

Remplacez $i$ par $0$ dans $5^{i}$ .

$a = 5^{0}$

Étape 3.2

Tout ce qui est élevé à la puissance $0$ est $1$ .

$a = 1$

Étape 4

Remplacez les valeurs du rapport, du premier terme et du nombre de termes dans la formule de l’addition.

$1 \frac{1 - 5^{6}}{1 - 1 \cdot 5}$

Étape 5

Simplifiez

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Étape 5.1

Multipliez $\frac{1 - 5^{6}}{1 - 1 \cdot 5}$ par $1$ .

$\frac{1 - 5^{6}}{1 - 1 \cdot 5}$

Étape 5.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 5.2.1

Élevez $5$ à la puissance $6$ .

$\frac{1 - 1 \cdot 15625}{1 - 1 \cdot 5}$

Étape 5.2.2

Multipliez $- 1$ par $15625$ .

$\frac{1 - 15625}{1 - 1 \cdot 5}$

Étape 5.2.3

Soustrayez $15625$ de $1$ .

$\frac{- 15624}{1 - 1 \cdot 5}$

Étape 5.3

Simplifiez le dénominateur.

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Étape 5.3.1

Multipliez $- 1$ par $5$ .

$\frac{- 15624}{1 - 5}$

Étape 5.3.2

Soustrayez $5$ de $1$ .

$\frac{- 15624}{- 4}$

Étape 5.4

Divisez $- 15624$ par $- 4$ .

$3906$