Calcul infinitésimal Exemples

$x + 2 y = \sqrt{y}$

Étape 1

Utilisez $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ pour réécrire $\sqrt{y}$ comme $y^{\frac{1}{2}}$ .

$x + 2 y = y^{\frac{1}{2}}$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x + 2 y) = \frac{d}{d x} (y^{\frac{1}{2}})$

Étape 3

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$1 + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$1 + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$1 + 2 y'$

Étape 3.3

Remettez les termes dans l’ordre.

$2 y' + 1$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 4.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 4.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 4.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 4.2

Pour écrire $- 1$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 4.3

Associez $- 1$ et $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 4.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 4.5

Simplifiez le numérateur.

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Étape 4.5.1

Multipliez $- 1$ par $2$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 4.5.2

Soustrayez $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} y^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 4.6

Placez le signe moins devant la fraction.

$\frac{1}{2} y^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 4.7

Associez $\frac{1}{2}$ et $y^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{y^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 4.8

Placez $y^{- \frac{1}{2}}$ sur le dénominateur en utilisant la règle de l’exposant négatif $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 4.9

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}} y'$

Étape 4.10

Associez $\frac{1}{2 y^{\frac{1}{2}}}$ et $y'$ .

$\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y' + 1 = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}}$

Étape 6

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.1

Multipliez les deux côtés par $2 y^{\frac{1}{2}}$ .

$(2 y' + 1) (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2

Simplifiez

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Étape 6.2.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.2.1.1

Simplifiez $(2 y' + 1) (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 6.2.1.1.1

Appliquez la propriété distributive.

$2 y' (2 y^{\frac{1}{2}}) + 1 (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.2

Simplifiez l’expression.

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Étape 6.2.1.1.2.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$2 \cdot 2 y' y^{\frac{1}{2}} + 1 (2 y^{\frac{1}{2}}) = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.2.2

Multipliez $2 y^{\frac{1}{2}}$ par $1$ .

$2 \cdot 2 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.1.1.2.3

Multipliez $2$ par $2$ .

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$

Étape 6.2.2

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.2.2.1

Simplifiez $\frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} (2 y^{\frac{1}{2}})$ .

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Étape 6.2.2.1.1

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2.1.2

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 6.2.2.1.2.1

Annulez le facteur commun.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = 2 \frac{y'}{2 y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2.1.2.2

Réécrivez l’expression.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2.1.3

Annulez le facteur commun de $y^{\frac{1}{2}}$ .

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Étape 6.2.2.1.3.1

Annulez le facteur commun.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = \frac{y'}{y^{\frac{1}{2}}} y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.2.2.1.3.2

Réécrivez l’expression.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} + 2 y^{\frac{1}{2}} = y'$

Étape 6.3

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.3.1

Soustrayez $2 y^{\frac{1}{2}}$ des deux côtés de l’équation.

$4 y' y^{\frac{1}{2}} - y' = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $4 y' y^{\frac{1}{2}} - y'$ .

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Étape 6.3.2.1

Factorisez $y'$ à partir de $4 y' y^{\frac{1}{2}}$ .

$y' (4 y^{\frac{1}{2}}) - y' = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.2.2

Factorisez $y'$ à partir de $- y'$ .

$y' (4 y^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1 = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.2.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' (4 y^{\frac{1}{2}}) + y' \cdot - 1$ .

$y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$

Étape 6.3.3

Divisez chaque terme dans $y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$ par $4 y^{\frac{1}{2}} - 1$ et simplifiez.

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Étape 6.3.3.1

Divisez chaque terme dans $y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1) = - 2 y^{\frac{1}{2}}$ par $4 y^{\frac{1}{2}} - 1$ .

$\frac{y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1)}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Étape 6.3.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.3.3.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (4 y^{\frac{1}{2}} - 1)}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1} = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Étape 6.3.3.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Étape 6.3.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.3.3.3.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$

Étape 7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{2 y^{\frac{1}{2}}}{4 y^{\frac{1}{2}} - 1}$