Calcul infinitésimal Exemples

$\ln (x y) = e^{x + y}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\ln (x y)) = \frac{d}{d x} (e^{x + y})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \ln (x)$ et $g (x) = x y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\ln (u)$ par rapport à $u$ est $\frac{1}{u}$ .

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$\frac{1}{x y} \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$\frac{1}{x y} (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$\frac{1}{x y} (x y' + y)$

Étape 2.6

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{1}{x y} (x y') + \frac{1}{x y} y$

Étape 2.6.2

Associez des termes.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.1

Associez $x$ et $\frac{1}{x y}$ .

$\frac{x}{x y} y' + \frac{1}{x y} y$

Étape 2.6.2.2

Associez $\frac{x}{x y}$ et $y'$ .

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Étape 2.6.2.3

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y'}{x y} + \frac{1}{x y} y$

Étape 2.6.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x y} y$

Étape 2.6.2.4

Associez $\frac{1}{x y}$ et $y$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Étape 2.6.2.5

Annulez le facteur commun de $y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 2.6.2.5.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y'}{y} + \frac{y}{x y}$

Étape 2.6.2.5.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x}$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = e^{x}$ et $g (x) = x + y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x + y$ .

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.1.2

Différenciez en utilisant la règle exponentielle qui indique que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ est $a^{u} \ln (a)$ où $a$ = $e$ .

$e^{u} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x + y$ .

$e^{x + y} \frac{d}{d x} [x + y]$

Étape 3.2

Différenciez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$e^{x + y} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$e^{x + y} (1 + \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$e^{x + y} (1 + y')$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} (1 + y')$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1

Simplifiez $e^{x + y} (1 + y')$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.1

Réécrivez.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = 0 + 0 + e^{x + y} (1 + y')$

Étape 5.1.2

Simplifiez en ajoutant des zéros.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} (1 + y')$

Étape 5.1.3

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} \cdot 1 + e^{x + y} y'$

Étape 5.1.4

Simplifiez l’expression.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.1.4.1

Multipliez $e^{x + y}$ par $1$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} + e^{x + y} y'$

Étape 5.1.4.2

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x + y} + e^{x + y} y'$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y} + y' e^{x + y}$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $y'$ du côté gauche de l’équation.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.1

Soustrayez $y' e^{x + y}$ des deux côtés de l’équation.

$\frac{y'}{y} + \frac{1}{x} - y' e^{x + y} = e^{x + y}$

Étape 5.2.2

Pour écrire $- y' e^{x + y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y'}{y} - y' e^{x + y} \cdot \frac{y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Étape 5.2.3

Associez $- y' e^{x + y}$ et $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y'}{y} + \frac{- y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Étape 5.2.4

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y' - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Étape 5.2.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' - y' e^{x + y} y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.5.1

Élevez $y'$ à la puissance $1$ .

$\frac{{y'}^{1} - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Étape 5.2.5.2

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$\frac{y' \cdot 1 - y' e^{x + y} y}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Étape 5.2.5.3

Factorisez $y'$ à partir de $- y' e^{x + y} y$ .

$\frac{y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Étape 5.2.5.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Étape 5.2.6

Pour écrire $\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} = e^{x + y}$

Étape 5.2.7

Pour écrire $\frac{1}{x}$ comme une fraction avec un dénominateur commun, multipliez par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y} \cdot \frac{x}{x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x + y}$

Étape 5.2.8

Écrivez chaque expression avec un dénominateur commun $y x$ , en multipliant chacun par un facteur approprié de $1$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.8.1

Multipliez $\frac{y' (1 - e^{x + y} y)}{y}$ par $\frac{x}{x}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{y x} + \frac{1}{x} \cdot \frac{y}{y} = e^{x + y}$

Étape 5.2.8.2

Multipliez $\frac{1}{x}$ par $\frac{y}{y}$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{y x} + \frac{y}{x y} = e^{x + y}$

Étape 5.2.8.3

Réorganisez les facteurs de $y x$ .

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x}{x y} + \frac{y}{x y} = e^{x + y}$

Étape 5.2.9

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$\frac{y' (1 - e^{x + y} y) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Étape 5.2.10

Simplifiez le numérateur.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.2.10.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{(y' \cdot 1 + y' (- e^{x + y} y)) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Étape 5.2.10.2

Multipliez $y'$ par $1$ .

$\frac{(y' + y' (- e^{x + y} y)) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Étape 5.2.10.3

Réécrivez en utilisant la commutativité de la multiplication.

$\frac{(y' - y' e^{x + y} y) x + y}{x y} = e^{x + y}$

Étape 5.2.10.4

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{y' x - y' e^{x + y} y x + y}{x y} = e^{x + y}$

Étape 5.2.11

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{y' x - y' e^{x + y} y x + y}{x y}$ .

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} = e^{x + y}$

Étape 5.3

Multipliez les deux côtés par $x y$ .

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y) = e^{x + y} (x y)$

Étape 5.4

Simplifiez

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.1

Simplifiez $\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y)$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.1.1

Annulez le facteur commun de $x y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' x - y' y x e^{x + y} + y}{x y} (x y) = e^{x + y} (x y)$

Étape 5.4.1.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' x - y' y x e^{x + y} + y = e^{x + y} (x y)$

Étape 5.4.1.1.2

Remettez dans l’ordre.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.1.1.2.1

Déplacez $y$ .

$y' x - y' x y e^{x + y} + y = e^{x + y} (x y)$

Étape 5.4.1.1.2.2

Déplacez $- y' x y e^{x + y}$ .

$y' x + y - y' x y e^{x + y} = e^{x + y} (x y)$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.4.2.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $e^{x + y} (x y)$ .

$y' x + y - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y}$

Étape 5.5

Résolvez $y'$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.1

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$y' x - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y} - y$

Étape 5.5.2

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x - y' x y e^{x + y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.2.1

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x$ .

$y' x \cdot 1 - y' x y e^{x + y} = x y e^{x + y} - y$

Étape 5.5.2.2

Factorisez $y' x$ à partir de $- y' x y e^{x + y}$ .

$y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

Étape 5.5.2.3

Factorisez $y' x$ à partir de $y' x \cdot 1 + y' x (- 1 y e^{x + y})$ .

$y' x (1 - 1 y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

Étape 5.5.3

Réécrivez $- 1 y$ comme $- y$ .

$y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$

Étape 5.5.4

Divisez chaque terme dans $y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$ par $x (1 - y e^{x + y})$ et simplifiez.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' x (1 - y e^{x + y}) = x y e^{x + y} - y$ par $x (1 - y e^{x + y})$ .

$\frac{y' x (1 - y e^{x + y})}{x (1 - y e^{x + y})} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Étape 5.5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' x (1 - y e^{x + y})}{x (1 - y e^{x + y})} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Étape 5.5.4.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (1 - y e^{x + y})}{1 - y e^{x + y}} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Étape 5.5.4.2.2

Annulez le facteur commun de $1 - y e^{x + y}$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (1 - y e^{x + y})}{1 - y e^{x + y}} = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Étape 5.5.4.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{x y e^{x + y}}{x (1 - y e^{x + y})} + \frac{- y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Étape 5.5.4.3

Simplifiez le côté droit.

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{x y e^{x + y} - y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Étape 5.5.4.3.2

Factorisez $y$ à partir de $x y e^{x + y} - y$ .

Appuyez ici pour voir plus d’étapes...

Étape 5.5.4.3.2.1

Factorisez $y$ à partir de $x y e^{x + y}$ .

$y' = \frac{y (x e^{x + y}) - y}{x (1 - y e^{x + y})}$

Étape 5.5.4.3.2.2

Factorisez $y$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{y (x e^{x + y}) + y \cdot - 1}{x (1 - y e^{x + y})}$

Étape 5.5.4.3.2.3

Factorisez $y$ à partir de $y (x e^{x + y}) + y \cdot - 1$ .

$y' = \frac{y (x e^{x + y} - 1)}{x (1 - y e^{x + y})}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y (x e^{x + y} - 1)}{x (1 - y e^{x + y})}$