Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (x) - \cos (y) - 2 = 0$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\sin (x) - \cos (y) - 2) = \frac{d}{d x} (0)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $\sin (x) - \cos (y) - 2$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$ .

$\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.2

La dérivée de $\sin (x)$ par rapport à $x$ est $\cos (x)$ .

$\cos (x) + \frac{d}{d x} [- \cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- \cos (y)]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- \cos (y)$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [\cos (y)]$ .

$\cos (x) - \frac{d}{d x} [\cos (y)] + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \cos (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\cos (x) - (\frac{d}{d u} [\cos (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3.2.2

La dérivée de $\cos (u)$ par rapport à $u$ est $- \sin (u)$ .

$\cos (x) - (- \sin (u) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$\cos (x) - (- \sin (y) \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\cos (x) - (- \sin (y) y') + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3.4

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\cos (x) + 1 (\sin (y) y') + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.3.5

Multipliez $\sin (y)$ par $1$ .

$\cos (x) + \sin (y) y' + \frac{d}{d x} [- 2]$

Étape 2.4

Comme $- 2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 2$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\cos (x) + \sin (y) y' + 0$

Étape 2.5

Simplifiez

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Étape 2.5.1

Additionnez $\cos (x) + \sin (y) y'$ et $0$ .

$\cos (x) + \sin (y) y'$

Étape 2.5.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$\sin (y) y' + \cos (x)$

Étape 3

Comme $0$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $0$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$\sin (y) y' + \cos (x) = 0$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\sin (y) y' + \cos (x)$ .

$y' \sin (y) + \cos (x) = 0$

Étape 5.2

Soustrayez $\cos (x)$ des deux côtés de l’équation.

$y' \sin (y) = - \cos (x)$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $y' \sin (y) = - \cos (x)$ par $\sin (y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $y' \sin (y) = - \cos (x)$ par $\sin (y)$ .

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (x)}{\sin (y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $\sin (y)$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \sin (y)}{\sin (y)} = \frac{- \cos (x)}{\sin (y)}$

Étape 5.3.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- \cos (x)}{\sin (y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Séparez les fractions.

$y' = \frac{- 1}{1} \cdot \frac{\cos (x)}{\sin (y)}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez $\frac{\cos (x)}{\sin (y)}$ comme un produit.

$y' = \frac{- 1}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Étape 5.3.3.3

Écrivez $\cos (x)$ comme une fraction avec le dénominateur $1$ .

$y' = \frac{- 1}{1} (\frac{\cos (x)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (y)})$

Étape 5.3.3.4

Simplifiez

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Étape 5.3.3.4.1

Divisez $\cos (x)$ par $1$ .

$y' = \frac{- 1}{1} (\cos (x) \frac{1}{\sin (y)})$

Étape 5.3.3.4.2

Convertissez de $\frac{1}{\sin (y)}$ à $\csc (y)$ .

$y' = \frac{- 1}{1} (\cos (x) \csc (y))$

Étape 5.3.3.5

Divisez $- 1$ par $1$ .

$y' = - \cos (x) \csc (y)$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \cos (x) \csc (y)$