Calcul infinitésimal Exemples

$\sin (x y) = 2 x + 5$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (\sin (x y)) = \frac{d}{d x} (2 x + 5)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \sin (x)$ et $g (x) = x y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $x y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.1.2

La dérivée de $\sin (u)$ par rapport à $u$ est $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $x y$ .

$\cos (x y) \frac{d}{d x} [x y]$

Étape 2.2

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = y$ .

$\cos (x y) (x \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$\cos (x y) (x y' + y \frac{d}{d x} [x])$

Étape 2.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\cos (x y) (x y' + y \cdot 1)$

Étape 2.5

Multipliez $y$ par $1$ .

$\cos (x y) (x y' + y)$

Étape 2.6

Simplifiez

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Étape 2.6.1

Appliquez la propriété distributive.

$\cos (x y) (x y') + \cos (x y) y$

Étape 2.6.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 5$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [5]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$x \cos (x y) y' + y \cos (x y) = 2$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x \cos (x y) y' + y \cos (x y)$ .

$x y' \cos (x y) + y \cos (x y) = 2$

Étape 5.2

Soustrayez $y \cos (x y)$ des deux côtés de l’équation.

$x y' \cos (x y) = 2 - y \cos (x y)$

Étape 5.3

Divisez chaque terme dans $x y' \cos (x y) = 2 - y \cos (x y)$ par $x \cos (x y)$ et simplifiez.

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Étape 5.3.1

Divisez chaque terme dans $x y' \cos (x y) = 2 - y \cos (x y)$ par $x \cos (x y)$ .

$\frac{x y' \cos (x y)}{x \cos (x y)} = \frac{2}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Étape 5.3.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.3.2.1

Annulez le facteur commun de $x$ .

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Étape 5.3.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{x y' \cos (x y)}{x \cos (x y)} = \frac{2}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Étape 5.3.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' \cos (x y)}{\cos (x y)} = \frac{2}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Étape 5.3.2.2

Annulez le facteur commun de $\cos (x y)$ .

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Étape 5.3.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' \cos (x y)}{\cos (x y)} = \frac{2}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Étape 5.3.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2}{x \cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Étape 5.3.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.3.1.1

Séparez les fractions.

$y' = \frac{2}{x} \cdot \frac{1}{\cos (x y)} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Étape 5.3.3.1.2

Convertissez de $\frac{1}{\cos (x y)}$ à $\sec (x y)$ .

$y' = \frac{2}{x} \sec (x y) + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Étape 5.3.3.1.3

Associez $\frac{2}{x}$ et $\sec (x y)$ .

$y' = \frac{2 \sec (x y)}{x} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Étape 5.3.3.1.4

Annulez le facteur commun de $\cos (x y)$ .

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Étape 5.3.3.1.4.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 \sec (x y)}{x} + \frac{- y \cos (x y)}{x \cos (x y)}$

Étape 5.3.3.1.4.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{2 \sec (x y)}{x} + \frac{- y}{x}$

Étape 5.3.3.1.5

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{2 \sec (x y)}{x} - \frac{y}{x}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 \sec (x y)}{x} - \frac{y}{x}$