Calcul infinitésimal Exemples

$y^{5} + x^{2} y^{3} = 1 + x^{4} y$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{5} + x^{2} y^{3}) = \frac{d}{d x} (1 + x^{4} y)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{5} + x^{2} y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{5}] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{5}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{5}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{1}$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{5}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ est $n {u_{1}}^{n - 1}$ où $n = 5$ .

$5 {u_{1}}^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{1}$ par $y$ .

$5 y^{4} \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5 y^{4} y' + \frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{2} y^{3}]$ .

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Étape 2.3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y^{3}$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u_{2}$ comme $y$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ est $n {u_{2}}^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u_{2}$ par $y$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 2.3.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$5 y^{4} y' + x^{2} (3 y^{2} y') + y^{3} (2 x)$

Étape 2.3.5

Déplacez $3$ à gauche de $x^{2}$ .

$5 y^{4} y' + 3 \cdot x^{2} y^{2} y' + y^{3} (2 x)$

Étape 2.3.6

Déplacez $2$ à gauche de $y^{3}$ .

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez.

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Étape 3.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $1 + x^{4} y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

$\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [x^{4} y]$

Étape 3.1.2

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$0 + \frac{d}{d x} [x^{4} y]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [x^{4} y]$ .

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Étape 3.2.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{4}$ et $g (x) = y$ .

$0 + x^{4} \frac{d}{d x} [y] + y \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 3.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$0 + x^{4} y' + y \frac{d}{d x} [x^{4}]$

Étape 3.2.3

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$0 + x^{4} y' + y (4 x^{3})$

Étape 3.2.4

Déplacez $4$ à gauche de $y$ .

$0 + x^{4} y' + 4 y x^{3}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Additionnez $0$ et $x^{4} y' + 4 y x^{3}$ .

$x^{4} y' + 4 y x^{3}$

Étape 3.3.2

Remettez les termes dans l’ordre.

$x^{4} y' + 4 x^{3} y$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x = x^{4} y' + 4 x^{3} y$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $x^{4} y'$ des deux côtés de l’équation.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' + 2 y^{3} x - x^{4} y' = 4 x^{3} y$

Étape 5.2

Soustrayez $2 y^{3} x$ des deux côtés de l’équation.

$5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' - x^{4} y' = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

Étape 5.3

Factorisez $y'$ à partir de $5 y^{4} y' + 3 x^{2} y^{2} y' - x^{4} y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $y'$ à partir de $5 y^{4} y'$ .

$y' (5 y^{4}) + 3 x^{2} y^{2} y' - x^{4} y' = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

Étape 5.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $3 x^{2} y^{2} y'$ .

$y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2}) - x^{4} y' = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

Étape 5.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $- x^{4} y'$ .

$y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2}) + y' (- x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

Étape 5.3.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (5 y^{4}) + y' (3 x^{2} y^{2})$ .

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2}) + y' (- x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

Étape 5.3.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2}) + y' (- x^{4})$ .

$y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$

Étape 5.4

Divisez chaque terme dans $y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$ par $5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}$ et simplifiez.

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Étape 5.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}) = 4 x^{3} y - 2 y^{3} x$ par $5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}$ .

$\frac{y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} = \frac{4 x^{3} y}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} + \frac{- 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

Étape 5.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.4.2.1

Annulez le facteur commun de $5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}$ .

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Étape 5.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} = \frac{4 x^{3} y}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} + \frac{- 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

Étape 5.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{4 x^{3} y}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}} + \frac{- 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

Étape 5.4.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.4.3.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{4 x^{3} y - 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

Étape 5.4.3.2

Factorisez $2 x y$ à partir de $4 x^{3} y - 2 y^{3} x$ .

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Étape 5.4.3.2.1

Factorisez $2 x y$ à partir de $4 x^{3} y$ .

$y' = \frac{2 x y (2 x^{2}) - 2 y^{3} x}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

Étape 5.4.3.2.2

Factorisez $2 x y$ à partir de $- 2 y^{3} x$ .

$y' = \frac{2 x y (2 x^{2}) + 2 x y (- y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

Étape 5.4.3.2.3

Factorisez $2 x y$ à partir de $2 x y (2 x^{2}) + 2 x y (- y^{2})$ .

$y' = \frac{2 x y (2 x^{2} - y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{2 x y (2 x^{2} - y^{2})}{5 y^{4} + 3 x^{2} y^{2} - x^{4}}$