Calcul infinitésimal Exemples

$y = (x) \tan (y)$

Étape 1

Multipliez $x$ par $\tan (y)$ .

$y = x \tan (y)$

Étape 2

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y) = \frac{d}{d x} (x \tan (y))$

Étape 3

La dérivée de $y$ par rapport à $x$ est $y'$ .

$y'$

Étape 4

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 4.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x$ et $g (x) = \tan (y)$ .

$x \frac{d}{d x} [\tan (y)] + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = \tan (x)$ et $g (x) = y$ .

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Étape 4.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x (\frac{d}{d u} [\tan (u)] \frac{d}{d x} [y]) + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2.2

La dérivée de $\tan (u)$ par rapport à $u$ est $\sec^{2} (u)$ .

$x (\sec^{2} (u) \frac{d}{d x} [y]) + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x (\sec^{2} (y) \frac{d}{d x} [y]) + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$x \sec^{2} (y) y' + \tan (y) \frac{d}{d x} [x]$

Étape 4.4

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$x \sec^{2} (y) y' + \tan (y) \cdot 1$

Étape 4.5

Multipliez $\tan (y)$ par $1$ .

$x \sec^{2} (y) y' + \tan (y)$

Étape 5

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$y' = x \sec^{2} (y) y' + \tan (y)$

Étape 6

Résolvez $y'$ .

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Étape 6.1

Simplifiez le côté droit.

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Étape 6.1.1

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $x \sec^{2} (y) y' + \tan (y)$ .

$y' = x y' \sec^{2} (y) + \tan (y)$

Étape 6.2

Soustrayez $x y' \sec^{2} (y)$ des deux côtés de l’équation.

$y' - x y' \sec^{2} (y) = \tan (y)$

Étape 6.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' - x y' \sec^{2} (y)$ .

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Étape 6.3.1

Factorisez $y'$ à partir de ${y'}^{1}$ .

$y' \cdot 1 - x y' \sec^{2} (y) = \tan (y)$

Étape 6.3.2

Factorisez $y'$ à partir de $- x y' \sec^{2} (y)$ .

$y' \cdot 1 + y' (- x \sec^{2} (y)) = \tan (y)$

Étape 6.3.3

Factorisez $y'$ à partir de $y' \cdot 1 + y' (- x \sec^{2} (y))$ .

$y' (1 - x \sec^{2} (y)) = \tan (y)$

Étape 6.4

Divisez chaque terme dans $y' (1 - x \sec^{2} (y)) = \tan (y)$ par $1 - x \sec^{2} (y)$ et simplifiez.

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Étape 6.4.1

Divisez chaque terme dans $y' (1 - x \sec^{2} (y)) = \tan (y)$ par $1 - x \sec^{2} (y)$ .

$\frac{y' (1 - x \sec^{2} (y))}{1 - x \sec^{2} (y)} = \frac{\tan (y)}{1 - x \sec^{2} (y)}$

Étape 6.4.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 6.4.2.1

Annulez le facteur commun de $1 - x \sec^{2} (y)$ .

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Étape 6.4.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (1 - x \sec^{2} (y))}{1 - x \sec^{2} (y)} = \frac{\tan (y)}{1 - x \sec^{2} (y)}$

Étape 6.4.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\tan (y)}{1 - x \sec^{2} (y)}$

Étape 7

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\tan (y)}{1 - x \sec^{2} (y)}$