Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} = \frac{x - 1}{x + 1}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (\frac{x - 1}{x + 1})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle du quotient qui indique que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ est $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ où $f (x) = x - 1$ et $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x - 1] - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [- 1]) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.3

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- 1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{(x + 1) (1 + 0) - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.4

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.4.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.4.2

Multipliez $x + 1$ par $1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.5

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.6

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.7

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 3.2.8.1

Additionnez $1$ et $0$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.2.8.2

Multipliez $- 1$ par $1$ .

$\frac{x + 1 - (x - 1)}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3

Simplifiez

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Étape 3.3.1

Appliquez la propriété distributive.

$\frac{x + 1 - x - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2

Simplifiez le numérateur.

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Étape 3.3.2.1

Associez les termes opposés dans $x + 1 - x - - 1$ .

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Étape 3.3.2.1.1

Soustrayez $x$ de $x$ .

$\frac{0 + 1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2.1.2

Additionnez $0$ et $1$ .

$\frac{1 - - 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2.2

Multipliez $- 1$ par $- 1$ .

$\frac{1 + 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 3.3.2.3

Additionnez $1$ et $1$ .

$\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $2 y y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ par $2 y$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}}$ par $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{\frac{2}{{(x + 1)}^{2}}}{2 y}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Multipliez le numérateur par la réciproque du dénominateur.

$y' = \frac{2}{{(x + 1)}^{2}} \cdot \frac{1}{2 y}$

Étape 5.3.2

Associez.

$y' = \frac{2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2} (2 y)}$

Étape 5.3.3

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.3.3.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 \cdot 1}{{(x + 1)}^{2} (2 y)}$

Étape 5.3.3.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{1}{{(x + 1)}^{2} (y)}$

Étape 5.3.4

Remettez les facteurs dans l’ordre dans $\frac{1}{{(x + 1)}^{2} y}$ .

$y' = \frac{1}{y {(x + 1)}^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y {(x + 1)}^{2}}$