Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} = (x - y) (x^{2} + y)$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} ((x - y) (x^{2} + y))$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x - y$ et $g (x) = x^{2} + y$ .

$(x - y) \frac{d}{d x} [x^{2} + y] + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 3.2

Différenciez.

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Étape 3.2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{2} + y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]$ .

$(x - y) (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$(x - y) (2 x + \frac{d}{d x} [y]) + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 3.3

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) \frac{d}{d x} [x - y]$

Étape 3.4

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x - y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y]$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- y])$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 + \frac{d}{d x} [- y])$

Étape 3.6

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- y$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [y]$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 - \frac{d}{d x} [y])$

Étape 3.7

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$(x - y) (2 x + y') + (x^{2} + y) (1 - y')$

Étape 3.8

Simplifiez

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Étape 3.8.1

Appliquez la propriété distributive.

$(x - y) (2 x) + (x - y) y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

Étape 3.8.2

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) - y (2 x) + (x - y) y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

Étape 3.8.3

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + (x^{2} + y) (1 - y')$

Étape 3.8.4

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + (x^{2} + y) \cdot 1 + (x^{2} + y) (- y')$

Étape 3.8.5

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + (x^{2} + y) (- y')$

Étape 3.8.6

Appliquez la propriété distributive.

$x (2 x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Étape 3.8.7

Associez des termes.

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Étape 3.8.7.1

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Étape 3.8.7.2

Élevez $x$ à la puissance $1$ .

$2 (x^{1} x^{1}) - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Étape 3.8.7.3

Utilisez la règle de puissance $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ pour associer des exposants.

$2 x^{1 + 1} - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Étape 3.8.7.4

Additionnez $1$ et $1$ .

$2 x^{2} - y (2 x) + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Étape 3.8.7.5

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} \cdot 1 + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Étape 3.8.7.6

Multipliez $x^{2}$ par $1$ .

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} + y \cdot 1 + x^{2} (- y') + y (- y')$

Étape 3.8.7.7

Multipliez $y$ par $1$ .

$2 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + x^{2} + y + x^{2} (- y') + y (- y')$

Étape 3.8.7.8

Additionnez $2 x^{2}$ et $x^{2}$ .

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' + y + x^{2} (- y') + y (- y')$

Étape 3.8.7.9

Additionnez $- y y'$ et $y (- y')$ .

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Étape 3.8.7.9.1

Remettez dans l’ordre $y$ et $- 1$ .

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - y y' - 1 \cdot y y' + y + x^{2} (- y')$

Étape 3.8.7.9.2

Soustrayez $y y'$ de $- y y'$ .

$3 x^{2} - 2 y x + x y' - 2 y y' + y + x^{2} (- y')$

Étape 3.8.8

Remettez les termes dans l’ordre.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' = 3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Comme $y'$ est du côté droit de l’équation, inversez les côtés afin de le placer du côté gauche de l’équation.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y = 2 y y'$

Étape 5.2

Déplacez tous les termes contenant $y'$ du côté gauche de l’équation.

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Étape 5.2.1

Soustrayez $2 y y'$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 2 y y' - x^{2} y' + y - 2 y y' = 0$

Étape 5.2.2

Soustrayez $2 y y'$ de $- 2 y y'$ .

$3 x^{2} - 2 x y + x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = 0$

Étape 5.3

Déplacez tous les termes ne contenant pas $y'$ du côté droit de l’équation.

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Étape 5.3.1

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$- 2 x y + x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = - 3 x^{2}$

Étape 5.3.2

Ajoutez $2 x y$ aux deux côtés de l’équation.

$x y' - 4 y y' - x^{2} y' + y = - 3 x^{2} + 2 x y$

Étape 5.3.3

Soustrayez $y$ des deux côtés de l’équation.

$x y' - 4 y y' - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Étape 5.4

Factorisez $y'$ à partir de $x y' - 4 y y' - x^{2} y'$ .

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Étape 5.4.1

Factorisez $y'$ à partir de $x y'$ .

$y' x - 4 y y' - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Étape 5.4.2

Factorisez $y'$ à partir de $- 4 y y'$ .

$y' (x) + y' (- 4 y) - x^{2} y' = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Étape 5.4.3

Factorisez $y'$ à partir de $- x^{2} y'$ .

$y' (x) + y' (- 4 y) + y' (- x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Étape 5.4.4

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x) + y' (- 4 y)$ .

$y' (x - 4 y) + y' (- x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Étape 5.4.5

Factorisez $y'$ à partir de $y' (x - 4 y) + y' (- x^{2})$ .

$y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$

Étape 5.5

Divisez chaque terme dans $y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$ par $x - 4 y - x^{2}$ et simplifiez.

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Étape 5.5.1

Divisez chaque terme dans $y' (x - 4 y - x^{2}) = - 3 x^{2} + 2 x y - y$ par $x - 4 y - x^{2}$ .

$\frac{y' (x - 4 y - x^{2})}{x - 4 y - x^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Étape 5.5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.5.2.1

Annulez le facteur commun de $x - 4 y - x^{2}$ .

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Étape 5.5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (x - 4 y - x^{2})}{x - 4 y - x^{2}} = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Étape 5.5.2.1.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{- 3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Étape 5.5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.5.3.1.1

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{- y}{x - 4 y - x^{2}}$

Étape 5.5.3.1.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 x^{2}}{x - 4 y - x^{2}} + \frac{2 x y}{x - 4 y - x^{2}} - \frac{y}{x - 4 y - x^{2}}$

Étape 5.5.3.2

Simplifiez les termes.

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Étape 5.5.3.2.1

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + 2 x y}{x - 4 y - x^{2}} - \frac{y}{x - 4 y - x^{2}}$

Étape 5.5.3.2.2

Associez les numérateurs sur le dénominateur commun.

$y' = \frac{- 3 x^{2} + 2 x y - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Étape 5.5.3.2.3

Factorisez $- 1$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) + 2 x y - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Étape 5.5.3.2.4

Factorisez $- 1$ à partir de $2 x y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2}) - (- 2 x y) - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Étape 5.5.3.2.5

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2}) - (- 2 x y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y) - y}{x - 4 y - x^{2}}$

Étape 5.5.3.2.6

Factorisez $- 1$ à partir de $- y$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y) - (y)}{x - 4 y - x^{2}}$

Étape 5.5.3.2.7

Factorisez $- 1$ à partir de $- (3 x^{2} - 2 x y) - (y)$ .

$y' = \frac{- (3 x^{2} - 2 x y + y)}{x - 4 y - x^{2}}$

Étape 5.5.3.2.8

Simplifiez l’expression.

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Étape 5.5.3.2.8.1

Réécrivez $- (3 x^{2} - 2 x y + y)$ comme $- 1 (3 x^{2} - 2 x y + y)$ .

$y' = \frac{- 1 (3 x^{2} - 2 x y + y)}{x - 4 y - x^{2}}$

Étape 5.5.3.2.8.2

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{3 x^{2} - 2 x y + y}{x - 4 y - x^{2}}$