Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} = 5 x^{4} - x^{2}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{2}) = \frac{d}{d x} (5 x^{4} - x^{2})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $5 x^{4} - x^{2}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $5$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $5 x^{4}$ par rapport à $x$ est $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 4$ .

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.2.3

Multipliez $4$ par $5$ .

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$

Étape 3.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

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Étape 3.3.1

Comme $- 1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $- x^{2}$ par rapport à $x$ est $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$20 x^{3} - \frac{d}{d x} [x^{2}]$

Étape 3.3.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$20 x^{3} - (2 x)$

Étape 3.3.3

Multipliez $2$ par $- 1$ .

$20 x^{3} - 2 x$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' = 20 x^{3} - 2 x$

Étape 5

Divisez chaque terme dans $2 y y' = 20 x^{3} - 2 x$ par $2 y$ et simplifiez.

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Étape 5.1

Divisez chaque terme dans $2 y y' = 20 x^{3} - 2 x$ par $2 y$ .

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 5.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y y'}{2 y} = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 5.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y y'}{y} = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 5.2.2

Annulez le facteur commun de $y$ .

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y y'}{y} = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 5.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{20 x^{3}}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 5.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.3.1.1

Annulez le facteur commun à $20$ et $2$ .

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Étape 5.3.1.1.1

Factorisez $2$ à partir de $20 x^{3}$ .

$y' = \frac{2 (10 x^{3})}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 5.3.1.1.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.1.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$y' = \frac{2 (10 x^{3})}{2 (y)} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 5.3.1.1.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2 (10 x^{3})}{2 y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 5.3.1.1.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{- 2 x}{2 y}$

Étape 5.3.1.2

Annulez le facteur commun à $- 2$ et $2$ .

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Étape 5.3.1.2.1

Factorisez $2$ à partir de $- 2 x$ .

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Étape 5.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.3.1.2.2.1

Factorisez $2$ à partir de $2 y$ .

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{2 (- x)}{2 (y)}$

Étape 5.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{2 (- x)}{2 y}$

Étape 5.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} + \frac{- x}{y}$

Étape 5.3.1.3

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{10 x^{3}}{y} - \frac{x}{y}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{10 x^{3}}{y} - \frac{x}{y}$