Calcul infinitésimal Exemples

$y^{2} + 2 y = 2 x + 1$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (y^{2} + 2 y) = \frac{d}{d x} (2 x + 1)$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $y^{2} + 2 y$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$ .

$\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{2}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 2$ .

$2 u \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$2 y \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y' + \frac{d}{d x} [2 y]$

Étape 2.3

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 y]$ .

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Étape 2.3.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 y$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [y]$ .

$2 y y' + 2 \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.3.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$2 y y' + 2 y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $2 x + 1$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [2 x]$ .

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Étape 3.2.1

Comme $2$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $2 x$ par rapport à $x$ est $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 1$ .

$2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.2.3

Multipliez $2$ par $1$ .

$2 + \frac{d}{d x} [1]$

Étape 3.3

Différenciez en utilisant la règle de la constante.

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Étape 3.3.1

Comme $1$ est constant par rapport à $x$ , la dérivée de $1$ par rapport à $x$ est $0$ .

$2 + 0$

Étape 3.3.2

Additionnez $2$ et $0$ .

$2$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$2 y y' + 2 y' = 2$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y y' + 2 y'$ .

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Étape 5.1.1

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y y'$ .

$2 y' y + 2 y' = 2$

Étape 5.1.2

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y'$ .

$2 y' y + 2 y' \cdot 1 = 2$

Étape 5.1.3

Factorisez $2 y'$ à partir de $2 y' y + 2 y' \cdot 1$ .

$2 y' (y + 1) = 2$

Étape 5.2

Divisez chaque terme dans $2 y' (y + 1) = 2$ par $2 (y + 1)$ et simplifiez.

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Étape 5.2.1

Divisez chaque terme dans $2 y' (y + 1) = 2$ par $2 (y + 1)$ .

$\frac{2 y' (y + 1)}{2 (y + 1)} = \frac{2}{2 (y + 1)}$

Étape 5.2.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.2.2.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{2 y' (y + 1)}{2 (y + 1)} = \frac{2}{2 (y + 1)}$

Étape 5.2.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{2}{2 (y + 1)}$

Étape 5.2.2.2

Annulez le facteur commun de $y + 1$ .

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Étape 5.2.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (y + 1)}{y + 1} = \frac{2}{2 (y + 1)}$

Étape 5.2.2.2.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{2}{2 (y + 1)}$

Étape 5.2.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.2.3.1

Annulez le facteur commun de $2$ .

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Étape 5.2.3.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{2}{2 (y + 1)}$

Étape 5.2.3.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{1}{y + 1}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{1}{y + 1}$