Calcul infinitésimal Exemples

$x^{3} + y^{3} = x^{3} y^{3}$

Étape 1

Différenciez les deux côtés de l’équation.

$\frac{d}{d x} (x^{3} + y^{3}) = \frac{d}{d x} (x^{3} y^{3})$

Étape 2

Différenciez le côté gauche de l’équation.

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Étape 2.1

Différenciez.

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Étape 2.1.1

Selon la règle de la somme, la dérivée de $x^{3} + y^{3}$ par rapport à $x$ est $\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

$\frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d x} [y^{3}]$

Étape 2.2

Évaluez $\frac{d}{d x} [y^{3}]$ .

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Étape 2.2.1

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 2.2.1.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$3 x^{2} + \frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.1.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{2} + 3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.1.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]$

Étape 2.2.2

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{2} + 3 y^{2} y'$

Étape 3

Différenciez le côté droit de l’équation.

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Étape 3.1

Différenciez en utilisant la règle de produit qui indique que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ est $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y^{3}$ .

$x^{3} \frac{d}{d x} [y^{3}] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2

Différenciez en utilisant la règle d’enchaînement, qui indique que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ est $f' (g (x)) g' (x)$ où $f (x) = x^{3}$ et $g (x) = y$ .

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Étape 3.2.1

Pour appliquer la règle de la chaîne, définissez $u$ comme $y$ .

$x^{3} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2.2

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ est $n u^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$x^{3} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.2.3

Remplacez toutes les occurrences de $u$ par $y$ .

$x^{3} (3 y^{2} \frac{d}{d x} [y]) + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.3

Déplacez $3$ à gauche de $x^{3}$ .

$3 \cdot x^{3} y^{2} \frac{d}{d x} [y] + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.4

Réécrivez $\frac{d}{d x} [y]$ comme $y'$ .

$3 x^{3} y^{2} y' + y^{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

Étape 3.5

Différenciez en utilisant la règle de puissance qui indique que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ est $n x^{n - 1}$ où $n = 3$ .

$3 x^{3} y^{2} y' + y^{3} (3 x^{2})$

Étape 3.6

Déplacez $3$ à gauche de $y^{3}$ .

$3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2}$

Étape 4

Réformez l’équation en définissant le côté gauche égal au côté droit.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' = 3 x^{3} y^{2} y' + 3 y^{3} x^{2}$

Étape 5

Résolvez $y'$ .

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Étape 5.1

Soustrayez $3 x^{3} y^{2} y'$ des deux côtés de l’équation.

$3 x^{2} + 3 y^{2} y' - 3 x^{3} y^{2} y' = 3 y^{3} x^{2}$

Étape 5.2

Soustrayez $3 x^{2}$ des deux côtés de l’équation.

$3 y^{2} y' - 3 x^{3} y^{2} y' = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Étape 5.3

Factorisez $3 y^{2} y'$ à partir de $3 y^{2} y' - 3 x^{3} y^{2} y'$ .

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Étape 5.3.1

Factorisez $3 y^{2} y'$ à partir de $3 y^{2} y'$ .

$3 y^{2} y' \cdot 1 - 3 x^{3} y^{2} y' = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Étape 5.3.2

Factorisez $3 y^{2} y'$ à partir de $- 3 x^{3} y^{2} y'$ .

$3 y^{2} y' \cdot 1 + 3 y^{2} y' (- x^{3}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Étape 5.3.3

Factorisez $3 y^{2} y'$ à partir de $3 y^{2} y' \cdot 1 + 3 y^{2} y' (- x^{3})$ .

$3 y^{2} y' (1 - x^{3}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Étape 5.4

Réécrivez $1$ comme $1^{3}$ .

$3 y^{2} y' (1^{3} - x^{3}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Étape 5.5

Les deux termes étant des cubes parfaits, factorisez à l’aide de la formule de la différence des cubes, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ où $a = 1$ et $b = x$ .

$3 y^{2} y' ((1 - x) (1^{2} + 1 x + x^{2})) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Étape 5.6

Factorisez.

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Étape 5.6.1

Simplifiez

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Étape 5.6.1.1

Un à n’importe quelle puissance est égal à un.

$3 y^{2} y' ((1 - x) (1 + 1 x + x^{2})) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Étape 5.6.1.2

Multipliez $x$ par $1$ .

$3 y^{2} y' ((1 - x) (1 + x + x^{2})) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Étape 5.6.2

Supprimez les parenthèses inutiles.

$3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$

Étape 5.7

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$ par $3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})$ et simplifiez.

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Étape 5.7.1

Divisez chaque terme dans $3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2}) = 3 y^{3} x^{2} - 3 x^{2}$ par $3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$\frac{3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Étape 5.7.2

Simplifiez le côté gauche.

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Étape 5.7.2.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.7.2.1.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{3 y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Étape 5.7.2.1.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Étape 5.7.2.2

Annulez le facteur commun de $y^{2}$ .

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Étape 5.7.2.2.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y^{2} y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Étape 5.7.2.2.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Étape 5.7.2.3

Annulez le facteur commun de $1 - x$ .

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Étape 5.7.2.3.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (1 - x) (1 + x + x^{2})}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Étape 5.7.2.3.2

Réécrivez l’expression.

$\frac{y' (1 + x + x^{2})}{1 + x + x^{2}} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Étape 5.7.2.4

Annulez le facteur commun de $1 + x + x^{2}$ .

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Étape 5.7.2.4.1

Annulez le facteur commun.

$\frac{y' (1 + x + x^{2})}{1 + x + x^{2}} = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Étape 5.7.2.4.2

Divisez $y'$ par $1$ .

$y' = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Étape 5.7.3

Simplifiez le côté droit.

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Étape 5.7.3.1

Simplifiez chaque terme.

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Étape 5.7.3.1.1

Annulez le facteur commun de $3$ .

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Étape 5.7.3.1.1.1

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{3 y^{3} x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Étape 5.7.3.1.1.2

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y^{3} x^{2}}{(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Étape 5.7.3.1.2

Annulez le facteur commun à $y^{3}$ et $y^{2}$ .

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Étape 5.7.3.1.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $y^{3} x^{2}$ .

$y' = \frac{y^{2} (y x^{2})}{(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Étape 5.7.3.1.2.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.7.3.1.2.2.1

Factorisez $y^{2}$ à partir de $(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})$ .

$y' = \frac{y^{2} (y x^{2})}{y^{2} ((1 - x) (1 + x + x^{2}))} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Étape 5.7.3.1.2.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y^{2} (y x^{2})}{y^{2} ((1 - x) (1 + x + x^{2}))} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Étape 5.7.3.1.2.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- 3 x^{2}}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Étape 5.7.3.1.3

Annulez le facteur commun à $- 3$ et $3$ .

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Étape 5.7.3.1.3.1

Factorisez $3$ à partir de $- 3 x^{2}$ .

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{3 (- x^{2})}{3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Étape 5.7.3.1.3.2

Annulez les facteurs communs.

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Étape 5.7.3.1.3.2.1

Factorisez $3$ à partir de $3 y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})$ .

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{3 (- x^{2})}{3 ((y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2}))}$

Étape 5.7.3.1.3.2.2

Annulez le facteur commun.

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{3 (- x^{2})}{3 ((y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2}))}$

Étape 5.7.3.1.3.2.3

Réécrivez l’expression.

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} + \frac{- x^{2}}{(y^{2} (1 - x)) (1 + x + x^{2})}$

Étape 5.7.3.1.4

Placez le signe moins devant la fraction.

$y' = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$

Étape 6

Remplacez $y'$ par $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{y x^{2}}{(1 - x) (1 + x + x^{2})} - \frac{x^{2}}{y^{2} (1 - x) (1 + x + x^{2})}$